Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos o limite:
Esse problema envolve limites e funções trigonométricas, mais especificamente a tangente. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões do tipo
quando
está se aproximando de um valor específico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de lidar com o limite. Quando temos uma base e um expoente que dependem de
, uma boa estratégia é usar o logaritmo natural. Vamos chamar a expressão original de
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos analisar separadamente as duas partes dessa multiplicação:
- Tangente:
- Logaritmo:
Primeiro, vamos olhar para a tangente. Quando
se aproxima de
:
Sabemos que
não está definido porque a tangente tende ao infinito positivo ou negativo dependendo do lado por onde você se aproxima. Então, a tangente está tendendo ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com o logaritmo:
Quando
se aproxima de
, temos:
Então, o logaritmo está tendendo a
.
Portanto, temos uma situação onde uma função está indo para infinito (a tangente) e a outra está indo para zero (o logaritmo). Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 5
Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos reescrever
como
, mas uma abordagem mais direta é considerar que perto de
, a tangente pode ser aproximada por
.
Então, podemos reescrever
como:
Vamos simplificar isso:
Passo 6
Agora, vamos definir uma nova variável
, de modo que quando
,
. Substituindo
:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, lembrando que para
próximo de 0,
. Aqui,
, então:
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Então, encontramos que:
Para encontrar
, que é o limite original, precisamos “desfazer” o logaritmo, ou seja, aplicar a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a
.