lim x a(2-xa)^tg(pi x2 a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos o limite:
lim x a(2-xa)^tan(pi x2 a)
Esse problema envolve limites e funções trigonométricas, mais especificamente a tangente. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões do tipo quando está se aproximando de um valor específico. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de lidar com o limite. Quando temos uma base e um expoente que dependem de L = (2 - xa)^tan(pi x2 a) , uma boa estratégia é usar o logaritmo natural. Vamos chamar a expressão original de ln L = tan(pi x2 a) cdot ln(2 - xa) :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos analisar separadamente as duas partes dessa multiplicação:
  1. Tangente: pi x2 a pi a2 a = pi2
  2. Logaritmo:
Primeiro, vamos olhar para a tangente. Quando se aproxima de :
Sabemos que não está definido porque a tangente tende ao infinito positivo ou negativo dependendo do lado por onde você se aproxima. Então, a tangente está tendendo ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com o logaritmo:
ln(2 - xa)
Quando 2 - aa = 2 - 1 = 1 se aproxima de , temos:
Então, o logaritmo está tendendo a .
Portanto, temos uma situação onde uma função está indo para infinito (a tangente) e a outra está indo para zero (o logaritmo). Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo .

Passo 5

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos reescrever ln L = tan(pi x2 a) cdot ln(2 - xa) approx 1pi2 - pi x2 a cdot ln(2 - xa) como ln L approx ln(2 - xa)pi2 - pi x2 a = ln(2 - xa)pi2(1 - xa) , mas uma abordagem mais direta é considerar que perto de , a tangente pode ser aproximada por .
Então, podemos reescrever como:
Vamos simplificar isso:

Passo 6

Agora, vamos definir uma nova variável ln L approx ln(2 - a + ha)pi2(1 - a + ha) = ln(2 - 1 - ha)pi2(1 - 1 - ha) = ln(1 - ha)pi2(-ha) , de modo que quando ln L = ln(1 - ha)-pi h2 a , . Substituindo :
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, lembrando que para ln(1 - ha) approx -ha próximo de 0, ln L approx -ha-pi h2 a = -ha-pi h2 a = 2pi . Aqui, , então:
Substituindo na expressão de :

Passo 8

Então, encontramos que:
ln L 2pi quando x a
Para encontrar L = e^ln L e^2pi , que é o limite original, precisamos “desfazer” o logaritmo, ou seja, aplicar a função exponencial:

Resposta

O limite é igual a .

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