lim x 0^+ x^1ln (e^x-1)

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente calcule o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de limites, funções exponenciais e logaritmos naturais. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com e^x approx 1 + x quando e^x - 1 approx x está próximo de 0. Sabemos que para valores pequenos de , podemos aproximar pela expansão de Taylor:
Então,
Isso simplifica nosso denominador no expoente.

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x^1ln(e^x - 1) approx x^1ln(x)
Então, nossa expressão fica .

Passo 4

Vamos simplificar x^1ln(x) = e^ln(x)ln(x) = e^1 = e . Lembrando que , podemos reescrever a expressão como:

Passo 5

Com isso, vimos que a expressão se simplifica para quando se aproxima de 0 pela direita. Portanto, o limite é:

Resposta

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