lim x 0[ln (cotg(x))^tg x]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício envolve conceitos de limites e funções trigonométricas, além de logaritmos. Vamos precisar entender como se comportam as funções e perto de 0, e como aplicar propriedades de logaritmos para resolver o limite.

Passo 2

Primeiramente, vamos simplificar a expressão usando propriedades de logaritmos. Sabemos que ln ( cot(x) )^tan(x) = tan(x) cdot ln(cot(x)) . Aplicando isso, temos:
Agora, precisamos calcular o limite de quando tende a 0.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da expressão separadamente:
  1. : Sabemos que para perto de 0, . Ou seja, tende a 0 conforme se aproxima de 0.
  2. : A função . Para próximo de 0, e , então .
  3. : Com , temos .

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
tan(x) cdot ln(cot(x)) approx x cdot (-ln(x)) = -x ln(x)
Precisamos encontrar o limite de quando tende a 0.

Passo 5

Vamos analisar o limite de limx to 0 -x ln(x) quando se aproxima de 0:
Sabemos que tende a quando tende a 0 por valores positivos. Contudo, multiplicando por , que tende a 0, conseguimos resolver esse indeterminação.

Passo 6

Para calcular o limite, podemos reescrever a expressão:
limx to 0 -x ln(x) = limx to 0 -ln(x)1x
Agora, ao aplicar a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: limx to 0 -1x-1x^2 = limx to 0 x = 0
  • Derivada do denominador:
Então, temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

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