Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse exercício envolve conceitos de limites e funções trigonométricas, além de logaritmos. Vamos precisar entender como se comportam as funções
e
perto de 0, e como aplicar propriedades de logaritmos para resolver o limite.
Passo 2
Primeiramente, vamos simplificar a expressão usando propriedades de logaritmos. Sabemos que
. Aplicando isso, temos:
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende a 0.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da expressão separadamente:
-
: Sabemos que para perto de 0, . Ou seja, tende a 0 conforme se aproxima de 0. -
: A função . Para próximo de 0, e , então . -
: Com , temos .
Passo 4
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Precisamos encontrar o limite de
quando
tende a 0.
Passo 5
Vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que
tende a
quando
tende a 0 por valores positivos. Contudo, multiplicando por
, que tende a 0, conseguimos resolver esse indeterminação.
Passo 6
Para calcular o limite, podemos reescrever a expressão:
Agora, ao aplicar a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, temos:
Resposta
O limite
é igual a 0.