Considere uma função y = f(x) duas vezes diferenciável com as seguintes propriedades:
x y Derivadas
x < 2 y' < 0, y'' > 0
x = 2 y = 1 y' = 0, y'' > 0
2 < x < 4 y' > 0, y'' > 0
x = 4 y = 4 y' > 0, y'' = 0
4 < x < 6 y' > 0, y'' < 0
x = 6 y = 7 y' = 0, y'' < 0
x > 6 y' < 0, y'' < 0
Diga os intervalos em que f(x) é côncava para cima e para baixo. Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é duas vezes diferenciável, ou seja, tem derivada primeira e derivada segunda . A tabela nos dá informações sobre o comportamento de , e em diferentes intervalos de . Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos a função é côncava para cima ( ) e para baixo ( ). Para isso, vamos analisar os sinais da segunda derivada em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os intervalos onde . A tabela diz que e . Como nesse intervalo, a função é côncava para cima aqui.

Passo 3

No ponto , temos . Isso confirma que a concavidade para cima continua até esse ponto.

Passo 4

De , a tabela indica que . Assim, nesse intervalo, a função continua sendo côncava para cima.

Passo 5

No ponto , . Isso sugere que pode ocorrer uma mudança na concavidade, mas ainda vamos ver o que acontece nos próximos intervalos.

Passo 6

De , a segunda derivada . Portanto, nesse intervalo, a função é côncava para baixo.

Passo 7

No ponto , , o que mantém a concavidade para baixo.

Passo 8

Para , temos . Assim, a função continua sendo côncava para baixo nesse intervalo.

Resposta

A função é côncava para cima nos intervalos e côncava para baixo nos intervalos .

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