Considere uma função
duas vezes diferenciável com as seguintes propriedades:
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Derivadas |
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Diga os intervalos em que
é côncava para cima e para baixo. Justifique.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é duas vezes diferenciável, ou seja, tem derivada primeira
e derivada segunda
. A tabela nos dá informações sobre o comportamento de
,
e
em diferentes intervalos de
. Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos a função é côncava para cima (
) e para baixo (
). Para isso, vamos analisar os sinais da segunda derivada em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os intervalos onde
. A tabela diz que
e
. Como
nesse intervalo, a função é côncava para cima aqui.
Passo 3
No ponto
, temos
. Isso confirma que a concavidade para cima continua até esse ponto.
Passo 4
De
, a tabela indica que
. Assim, nesse intervalo, a função continua sendo côncava para cima.
Passo 5
No ponto
,
. Isso sugere que pode ocorrer uma mudança na concavidade, mas ainda vamos ver o que acontece nos próximos intervalos.
Passo 6
De
, a segunda derivada
. Portanto, nesse intervalo, a função é côncava para baixo.
Passo 7
No ponto
,
, o que mantém a concavidade para baixo.
Passo 8
Para
, temos
. Assim, a função continua sendo côncava para baixo nesse intervalo.
Resposta
A função
é côncava para cima nos intervalos
e côncava para baixo nos intervalos
.