Use a regra da cadeia para determinar d/z dt.
z = raiz(x^2 + y^2), x = e^(2 t), y = e^(-2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada usando a regra da cadeia. A gente vai trabalhar com funções compostas aqui, onde depende de e , e e dependem de . Então, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia e calcular derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Aqui, é uma função de e , e tanto quanto são funções de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar . A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas vêm da regra da derivada da raiz quadrada.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Isso é direto das derivadas das funções exponenciais.

Passo 6

Vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Agora, substituímos e pelas suas expressões em termos de :
Substituindo na expressão de :

Resposta

Simplificando a expressão acima, temos:

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