Use a regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada
usando a regra da cadeia. A gente vai trabalhar com funções compostas aqui, onde
depende de
e
, e
e
dependem de
. Então, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia e calcular derivadas de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Aqui,
é uma função de
e
, e tanto
quanto
são funções de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar
. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Essas derivadas vêm da regra da derivada da raiz quadrada.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Isso é direto das derivadas das funções exponenciais.
Passo 6
Vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
Simplificando a expressão acima, temos: