Use a regra da cadeia para determinar d z / d s e d z / d t.
z = x^2 y^3, x = s cos(t), y = s sen(t)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função , onde e são funções de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de e . Então, para encontrar , usamos a Regra da Cadeia:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia para :
Agora, substituímos e na expressão acima.

Passo 6

Substituindo e :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar usando a Regra da Cadeia:

Passo 8

Calculando e :

Passo 9

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia para :
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

As derivadas procuradas são:

Exercícios relacionados