Use a regra da cadeia para determinar d w / d t, onde
w = ln(raiz(x^2 + y^2 + z^2)), x = sen(t), y = sen(t), z = tg(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , usando a regra da cadeia. Vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de forma mais simples:
E sabemos que:
Queremos encontrar .

Passo 3

A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas. Aqui, depende de , e , que por sua vez dependem de . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar , e em relação a :

Passo 6

Substituindo tudo na regra da cadeia:

Passo 7

Agora, vamos substituir , e na expressão:

Passo 8

Simplificando o denominador:
Então:

Passo 9

Podemos simplificar mais se quisermos, mas essa é uma forma válida da derivada. Portanto, a resposta final é:

Resposta

Exercícios relacionados