Considere uma função y = f(x) duas vezes diferenciável com as seguintes propriedades:
x y Derivadas
x < 2 y' < 0, y'' > 0
x = 2 y = 1 y' = 0, y'' > 0
2 < x < 4 y' > 0, y'' > 0
x = 4 y = 4 y' > 0, y'' = 0
4 < x < 6 y' > 0, y'' < 0
x = 6 y = 7 y' = 0, y'' < 0
x > 6 y' < 0, y'' < 0
Quais são os pontos críticos e de inflexão. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que é duas vezes diferenciável e nos deram algumas informações sobre suas derivadas em diferentes intervalos de . Nosso objetivo aqui é encontrar pontos críticos e pontos de inflexão dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são esses pontos e usar as informações sobre as derivadas primeira ( ) e segunda ( ) fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são pontos críticos e pontos de inflexão:
  • Pontos Críticos: São os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.
  • Pontos de Inflexão: São os valores de onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, a concavidade da função muda de côncava para convexa ou vice-versa.

Passo 3

Vamos analisar as informações dadas na tabela para identificar onde ocorrem essas mudanças.
  1. Para pontos críticos:
    • Procuramos os valores de onde .
  2. Para pontos de inflexão:
    • Procuramos os valores de onde muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

Passo 4

Analisando a tabela:
  • :
    • Interpretação: Aqui, a derivada primeira é zero, então é um ponto crítico. Além disso, indica que é um mínimo local.
  • :
    • Interpretação: A derivada segunda é zero, o que pode indicar um ponto de inflexão se houver mudança no sinal de ao redor de .
  • :
    • Interpretação: Aqui, a derivada primeira é zero, então é outro ponto crítico. Como , este ponto é um máximo local.

Passo 5

Agora, verificamos os pontos de inflexão:
  • Entre e :
    • Antes de 2,
    • Após 2 até 4,
    • Sem mudança de sinal.
  • Em :
    • De ,
    • De ,
    • Mudança de positivo para negativo. Portanto, é um ponto de inflexão.
  • Após :
    • De ,
    • Após 6,
    • Sem mudança de sinal.

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo local) e (máximo local). O ponto de inflexão ocorre em , onde a concavidade da função muda de côncava para convexa.

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