Considere uma função
duas vezes diferenciável com as seguintes propriedades:
|
|
Derivadas |
---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Quais são os pontos críticos e de inflexão. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que é duas vezes diferenciável e nos deram algumas informações sobre suas derivadas em diferentes intervalos de
. Nosso objetivo aqui é encontrar pontos críticos e pontos de inflexão dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são esses pontos e usar as informações sobre as derivadas primeira (
) e segunda (
) fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são pontos críticos e pontos de inflexão:
- Pontos Críticos: São os valores de
onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela. - Pontos de Inflexão: São os valores de
onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, a concavidade da função muda de côncava para convexa ou vice-versa.
Passo 3
Vamos analisar as informações dadas na tabela para identificar onde ocorrem essas mudanças.
-
Para pontos críticos:
- Procuramos os valores de
onde .
- Procuramos os valores de
-
Para pontos de inflexão:
- Procuramos os valores de
onde muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo.
- Procuramos os valores de
Passo 4
Analisando a tabela:
-
: -
-
- Interpretação: Aqui, a derivada primeira é zero, então
é um ponto crítico. Além disso, indica que é um mínimo local.
-
-
: -
- Interpretação: A derivada segunda é zero, o que pode indicar um ponto de inflexão se houver mudança no sinal de
ao redor de .
-
-
: -
-
- Interpretação: Aqui, a derivada primeira é zero, então
é outro ponto crítico. Como , este ponto é um máximo local.
-
Passo 5
Agora, verificamos os pontos de inflexão:
-
Entre
e : - Antes de 2,
- Após 2 até 4,
- Sem mudança de sinal.
- Antes de 2,
-
Em
: - De
, - De
, - Mudança de positivo para negativo. Portanto,
é um ponto de inflexão.
- De
-
Após
: - De
, - Após 6,
- Sem mudança de sinal.
- De
Resposta
Os pontos críticos da função são
(mínimo local) e
(máximo local). O ponto de inflexão ocorre em
, onde a concavidade da função muda de côncava para convexa.