lim x 0(2sen^2 x-11-cos x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício tá no tema de limites envolvendo funções trigonométricas. Pra resolver, a gente vai precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e também de como manipular expressões que têm sen e cos próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Isso ajuda a gente a entender melhor o que tá acontecendo quando se aproxima de 0. Então, vamos deixar os dois termos com denominadores semelhantes pra facilitar.

Passo 3

Olha só, a gente pode escrever 1 - cos x = 2 sin^2 ( x2 ) e usando identidades trigonométricas conhecidas. Sabemos que:
Isso vai ajudar a simplificar o segundo termo da expressão.

Passo 4

Agora, substituímos 2sin^2 x - 12 sin^2 ( x2 ) na expressão original:
Isso deixa a expressão mais clara e pronta para ser manipulada.

Passo 5

Para facilitar ainda mais, vamos lembrar que quando está próximo de 0. Então, .

Passo 6

Substituindo isso na expressão:
2sin^2 x - 12 cdot x^24 = 2sin^2 x - 1x^22 = 2sin^2 x - 2x^2
Agora, temos uma diferença entre e .

Passo 7

Sabemos que quando está próximo de 0. Assim, , e então . Isso sugere que a diferença entre os dois termos pode ser expressa usando essa aproximação.

Passo 8

Vamos reescrever a diferença:
2sin^2 x - 2x^2 = 2 ( 1sin^2 x - 1x^2 ) = 2 cdot x^2 - sin^2 xx^2 sin^2 x
Aqui, colocamos os termos sobre um denominador comum.

Passo 9

Agora, usamos a identidade x^2 - sin^2 x approx x^2 - ( x^2 - x^43 ) = x^43 para aproximar . Substituímos isso na expressão:
Então, a diferença fica aproximadamente .

Passo 10

Voltando à expressão anterior:
2 cdot x^43x^2 cdot x^2 = 2 cdot x^43x^4 = 2 cdot 13 = 23
Portanto, o limite quando se aproxima de 0 é .

Resposta

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