Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício tá no tema de limites envolvendo funções trigonométricas. Pra resolver, a gente vai precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e também de como manipular expressões que têm sen e cos próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Isso ajuda a gente a entender melhor o que tá acontecendo quando
se aproxima de 0. Então, vamos deixar os dois termos com denominadores semelhantes pra facilitar.
Passo 3
Olha só, a gente pode escrever
e
usando identidades trigonométricas conhecidas. Sabemos que:
Isso vai ajudar a simplificar o segundo termo da expressão.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão original:
Isso deixa a expressão mais clara e pronta para ser manipulada.
Passo 5
Para facilitar ainda mais, vamos lembrar que
quando
está próximo de 0. Então,
.
Passo 6
Substituindo isso na expressão:
Agora, temos uma diferença entre
e
.
Passo 7
Sabemos que
quando
está próximo de 0. Assim,
, e então
. Isso sugere que a diferença entre os dois termos pode ser expressa usando essa aproximação.
Passo 8
Vamos reescrever a diferença:
Aqui, colocamos os termos sobre um denominador comum.
Passo 9
Agora, usamos a identidade
para aproximar
. Substituímos isso na expressão:
Então, a diferença fica aproximadamente
.
Passo 10
Voltando à expressão anterior:
Portanto, o limite quando
se aproxima de 0 é
.