Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do tópico de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como comportam-se
e
quando
se aproxima de 0, e como multiplicar isso por
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
quando
está perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então,
.
Passo 3
Agora, substituímos
por
na expressão do logaritmo:
Lembrando que
. Como
está se aproximando de 0 pelo lado positivo, podemos simplificar para
.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 5
Observamos que, quando
se aproxima de 0,
tende a
e
tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão como:
Agora, temos uma forma
, que é mais fácil de lidar com L’Hospital.
Passo 6
Aplicamos a Regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
Resposta
O limite
é igual a 0.