lim x 0^+[x ln (sin x^2)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do tópico de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como comportam-se e quando se aproxima de 0, e como multiplicar isso por .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar quando está perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , . Então, .

Passo 3

Agora, substituímos ln(sin x^2) approx ln(x^2) por na expressão do logaritmo:
Lembrando que . Como está se aproximando de 0 pelo lado positivo, podemos simplificar para .

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
x ln(sin x^2) approx x cdot 2ln x = 2x ln x
Agora, precisamos calcular .

Passo 5

Observamos que, quando 2x ln x = 2 ln x1/x se aproxima de 0, tende a e tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, vamos reescrever a expressão como:
Agora, temos uma forma , que é mais fácil de lidar com L’Hospital.

Passo 6

Aplicamos a Regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
limx to 0^+ 2 ln x1/x = limx to 0^+ 2 cdot (1/x)-1/x^2 = limx to 0^+ -2x1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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