Considere y em função de x. Encontre d/y d/x da função a seguir:
x^3 + x^2 * y + y^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada de em relação a , ou seja, , para a função dada:
Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando está misturado com de forma que não dá para isolar facilmente. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para cada termo da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que quando você deriva em relação a , também depende de , então precisamos usar a regra da cadeia para os termos que envolvem .
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a usa a regra do produto:
    • Derivada de é , então teremos .
    • Mais vezes a derivada de , que é .
    • Então, a derivada total é .
  3. Derivada de em relação a usa a regra da cadeia:
    • Derivada de em relação a é .
    • Multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .
    • Então, a derivada total é .

Passo 3

Agora, vamos colocar todas essas derivadas na equação original diferenciada:
Nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos agrupar os termos que contêm e os que não têm.
Reescrevendo a equação:

Passo 4

Agora, vamos fatorar do lado esquerdo:
Para encontrar , basta dividir ambos os lados da equação por :

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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