Considere
em função de
. Encontre
da função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para a função dada:
Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando
está misturado com
de forma que não dá para isolar
facilmente. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para cada termo da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que quando você deriva em relação a
,
também depende de
, então precisamos usar a regra da cadeia para os termos que envolvem
.
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a usa a regra do produto: - Derivada de
é , então teremos . - Mais
vezes a derivada de , que é . - Então, a derivada total é
.
- Derivada de
- Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: - Derivada de
em relação a é . - Multiplicamos pela derivada de
em relação a , que é . - Então, a derivada total é
.
- Derivada de
Passo 3
Agora, vamos colocar todas essas derivadas na equação original diferenciada:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos agrupar os termos que contêm
e os que não têm.
Reescrevendo a equação:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
do lado esquerdo:
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados da equação por
:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é: