Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas nos pontos indicados:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
para determinar o ponto na curva onde a reta tangente será calculada.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto.
A função dada é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente:
Onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivações de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
, substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, temos o ponto de tangência
e a inclinação
. Podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a equação para a forma
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto onde
é: