Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas nos pontos indicados: f(x) = (2x + 1) / (x + 2) ; x = 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de para determinar o ponto na curva onde a reta tangente será calculada.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto.
A função dada é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente:
Onde e .

Passo 4

Calculando as derivações de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto , substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, temos o ponto de tangência e a inclinação . Podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é:

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