Calcule as seguintes derivadas: f(x) = ln((x^2 - 1)/(x + 2))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada da função . O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas, especificamente utilizando as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos. Lembramos que . Então, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada termo separadamente. Começamos com . Para derivar , onde é uma função de , usamos a regra da cadeia:
Aqui, , então . Portanto:

Passo 4

Em seguida, derivamos . Aplicando a mesma regra da cadeia:

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos. Lembre-se que a derivada de uma subtração é a subtração das derivadas:

Resposta

A derivada da função é:

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