Considere a função , dada por © Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de e seus valores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo local da função . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar esses pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. A fórmula que vamos usar aqui é a da regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é dada por:
No nosso caso, e . Então, precisamos das derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais, vamos resolver :
O denominador nunca é zero (exceto em , que não está no domínio da função), então basta resolver o numerador:
Isso nos dá e como pontos críticos.

Passo 6

Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar a segunda derivada. Vamos achar .
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando isso pode ser trabalhoso, mas o importante é avaliar o sinal da segunda derivada nos pontos críticos.

Passo 7

Vamos avaliar em e :
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Passo 8

Agora, vamos encontrar os valores de nesses pontos:
Para :
Para :

Resposta

A função tem um ponto de máximo local em com valor e um ponto de mínimo local em com valor .

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