Considere a função
, dada por
© Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de
e seus valores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo local da função
. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar esses pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. A fórmula que vamos usar aqui é a da regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
Passo 3
A regra do quociente diz que se temos
, então a derivada
é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, precisamos das derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais, vamos resolver
:
O denominador
nunca é zero (exceto em
, que não está no domínio da função), então basta resolver o numerador:
Isso nos dá
e
como pontos críticos.
Passo 6
Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar a segunda derivada. Vamos achar
.
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando isso pode ser trabalhoso, mas o importante é avaliar o sinal da segunda derivada nos pontos críticos.
Passo 7
Vamos avaliar
em
e
:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
A função
tem um ponto de máximo local em
com valor
e um ponto de mínimo local em
com valor
.
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, dada por
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.
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no ponto
. Use ela para aproximar o valor da função em
.
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, dada por
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.
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, dada por
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.