Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: x y^2 + y^3 = 2 x - 2 y - 16 : d y / d x no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor

Passo 1

Vamos resolver a derivada da equação no ponto onde a abscissa (x) e a ordenada (y) são iguais. Isso envolve o estudo de derivadas implícitas em cálculo, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma variável em relação à outra quando estão relacionadas por uma equação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a derivada em ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , usaremos a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.

Passo 3

Derivamos cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para 16:

Passo 4

Substituímos as derivadas encontradas na equação original:

Passo 5

Reunimos os termos que contêm de um lado e os termos restantes do outro lado:
Fatoramos :

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Passo 7

Sabemos que no ponto de interesse, . Vamos substituir por na equação:

Passo 8

Para encontrar o valor de no ponto onde , substituímos por na equação original:

Resposta

Substituindo na expressão da derivada:
Portanto, no ponto onde .

Exercícios relacionados