Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor
Passo 1
Vamos resolver a derivada
da equação
no ponto onde a abscissa (x) e a ordenada (y) são iguais. Isso envolve o estudo de derivadas implícitas em cálculo, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma variável em relação à outra quando estão relacionadas por uma equação.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a derivada em ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.
Passo 3
Derivamos cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para 16:
Passo 4
Substituímos as derivadas encontradas na equação original:
Passo 5
Reunimos os termos que contêm
de um lado e os termos restantes do outro lado:
Fatoramos
:
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Passo 7
Sabemos que no ponto de interesse,
. Vamos substituir
por
na equação:
Passo 8
Para encontrar o valor de
no ponto onde
, substituímos
por
na equação original:
Resposta
Substituindo
na expressão da derivada:
Portanto,
no ponto onde
.