Considere a função
definida por
.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. O que precisamos fazer aqui é descobrir onde essa função tem seus pontos críticos e também identificar em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos trabalhar com derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos indica a taxa de variação da função, ou seja, como
muda quando
muda. Para derivar
, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas outras, sua derivada é:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Então, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. No nosso caso,
.
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
, podemos simplificar a equação
para:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções:
-
que resulta em -
que resulta em
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Temos os pontos críticos em
e
, dividindo a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal de
:
-
Para
(por exemplo, ): Então,está decrescendo nesse intervalo. -
Para
(por exemplo, ): Então,está crescendo nesse intervalo. -
Para
(por exemplo, ): Então,continua crescendo nesse intervalo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
. A função
está decrescendo no intervalo
e crescendo nos intervalos
e
.
Exercícios relacionados
Encontre os limites nos exercícios 1-12.
Considere a função
. Classifique os pontos de máximo/mínimo locais ou de inflexão de
, caso existam.
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
Considere a função
definida por
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos e
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos