Considere a função f: R -> R definida por f(x) = x^3 * e^x.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . O que precisamos fazer aqui é descobrir onde essa função tem seus pontos críticos e também identificar em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos trabalhar com derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos indica a taxa de variação da função, ou seja, como muda quando muda. Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas outras, sua derivada é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Então, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, .
Como nunca é zero para nenhum valor real de , podemos simplificar a equação para:
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções:
  1. que resulta em
  2. que resulta em
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Temos os pontos críticos em e , dividindo a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal de :
  1. Para (por exemplo, ):
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  2. Para (por exemplo, ):
    Então, está crescendo nesse intervalo.
  3. Para (por exemplo, ):
    Então, continua crescendo nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . A função está decrescendo no intervalo e crescendo nos intervalos e .

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