Considere a função g: R -> R definida por g(x) = x^3 + 5 x^2 - 6 x.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos x e y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir o domínio dela e onde ela cruza os eixos e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções e gráficos, como entender o que é o domínio e como encontrar as interseções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função , ela é um polinômio. Polinômios são funções que são definidas para todos os números reais, porque não tem divisão por zero nem raízes de índices pares que poderiam restringir os valores de .
Então, o domínio de é:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo . Isso acontece quando , porque o ponto de interseção com o eixo tem a forma .
Substituindo na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto:

Passo 4

Para encontrar as interseções com o eixo , precisamos resolver a equação . Isso significa encontrar os valores de que fazem a função igual a zero.
Então, temos:
Podemos fatorar em comum:
Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Vamos resolver a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . As interseções com os eixos são:
  • Com o eixo em .
  • Com o eixo nos pontos , e .

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