Considere a função
. Classifique os pontos de máximo/mínimo locais ou de inflexão de
, caso existam.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos classificar seus pontos de máximo, mínimo locais ou de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções, como onde elas crescem, decrescem e mudam de concavidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada da função
, que é essencial para identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada nos diz a taxa de variação da função em cada ponto.
A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá:
Resolvendo:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada
, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeiro, encontramos
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, o teste da segunda derivada não é conclusivo. Precisamos analisar mais a fundo ou usar outro método, como a derivada primeira.
- Para
:
Novamente,
, então o teste não é conclusivo aqui também.
Como o teste da segunda derivada não ajudou, vamos analisar a derivada primeira em torno dos pontos críticos para determinar a natureza deles.
Passo 5
Vamos verificar o comportamento de
em torno dos pontos críticos:
-
Para
: - Quando
, por exemplo : - Quando
, por exemplo : - A derivada não muda de sinal ao passar por
. Portanto, não é nem máximo nem mínimo local.
- Quando
-
Para
: - Quando
, por exemplo : - Quando
, por exemplo : - A derivada também não muda de sinal ao passar por
. Logo, não é nem máximo nem mínimo local.
- Quando
Resposta
A função
não possui pontos de máximo ou mínimo local. Além disso, não há pontos de inflexão onde a concavidade muda, já que a segunda derivada não apresenta mudanças de sinal nos pontos analisados.
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.
Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário
.
a)
b) ,
c)
Rpta: a) , b)
, c)
a)
b)
c)
Rpta: a)
Encontre os limites nos exercícios 1-12.
Considere a função
definida por
.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.