Considere a função . Classifique os pontos de máximo/mínimo locais ou de inflexão de , caso existam.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos classificar seus pontos de máximo, mínimo locais ou de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções, como onde elas crescem, decrescem e mudam de concavidade.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada da função , que é essencial para identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada nos diz a taxa de variação da função em cada ponto.
A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá:
Resolvendo:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada , que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeiro, encontramos :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como , o teste da segunda derivada não é conclusivo. Precisamos analisar mais a fundo ou usar outro método, como a derivada primeira.
  • Para :
Novamente, , então o teste não é conclusivo aqui também.
Como o teste da segunda derivada não ajudou, vamos analisar a derivada primeira em torno dos pontos críticos para determinar a natureza deles.

Passo 5

Vamos verificar o comportamento de em torno dos pontos críticos:
  • Para :
    • Quando , por exemplo :
    • Quando , por exemplo :
    • A derivada não muda de sinal ao passar por . Portanto, não é nem máximo nem mínimo local.
  • Para :
    • Quando , por exemplo :
    • Quando , por exemplo :
    • A derivada também não muda de sinal ao passar por . Logo, não é nem máximo nem mínimo local.

Resposta

A função não possui pontos de máximo ou mínimo local. Além disso, não há pontos de inflexão onde a concavidade muda, já que a segunda derivada não apresenta mudanças de sinal nos pontos analisados.

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