Considere a função
. $© (6 pontos) Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma fórmula para derivar funções que são divididas, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na regra do quociente.
Temos:
-
(numerador) -
(denominador)
Passo 3
A regra do quociente nos diz que a derivada de
é dada por:
Vamos calcular agora as derivadas de
e
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente com os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expande as multiplicações:
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 8
Podemos fatorar o numerador:
Substituindo de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Em cada item, faça o que se pede: $(a) (10 pontos) Encontre o máximo global e o mínimo global da função
, definida no intervalo
.
Calcule
em cada caso: $(a) (10 pontos)
Uma caixa d
Calcule
em cada caso: $(b) (10 pontos)