Considere a função f(x) = (x^2 + x - 1) / x^2. $© (6 pontos) Mostre que (c) 6 pontos Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma fórmula para derivar funções que são divididas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na regra do quociente.
Temos:
  • (numerador)
  • (denominador)

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de é dada por:
Vamos calcular agora as derivadas de e .

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expande as multiplicações:
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificando o numerador:
Então:

Passo 8

Podemos fatorar o numerador:
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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