Considere a função .
(g) Estude a concavidade de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou! A gente precisa estudar a concavidade da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde a concavidade nos ajuda a entender como o gráfico da função está “curvado”, se está “sorrindo” (concava para cima) ou “chorando” (concava para baixo). Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função é determinada pela segunda derivada. Então, vamos começar encontrando a primeira derivada de .
A função que temos é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade. Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar o numerador:

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar a concavidade.
Primeiro, olhamos para o denominador :
  • Quando , ou seja, , o denominador é positivo.
  • Quando , ou seja, , o denominador é negativo.
Agora, olhamos para o numerador :
  • é sempre positivo, porque é positivo para todo , então multiplicado por 3 e somado com 4 continua positivo.
  • Portanto, o numerador é sempre positivo.

Passo 5

Com base nisso:
  • Para :
    • Numerador positivo
    • Denominador positivo
    • Então, → Concavidade para cima
  • Para :
    • Numerador positivo
    • Denominador negativo
    • Então, → Concavidade para baixo
Também precisamos considerar os pontos onde a função não está definida, ou seja, e , mas isso não afeta a concavidade diretamente, apenas indica onde o gráfico tem assíntotas.

Resposta

A função é concava para cima nos intervalos e , e concava para baixo no intervalo .

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Considere a função .
(d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
Seja a superfície dada sob a forma parametrizada por
Se é o bordo de , calcule .
[30 pontos] Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que .
[30 pontos] Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede.
© pontos] Qual o valor da soma ? Justifique sua resposta.