Considere a função
.
(g) Estude a concavidade de
.
(g) Estude a concavidade de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou! A gente precisa estudar a concavidade da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde a concavidade nos ajuda a entender como o gráfico da função está “curvado”, se está “sorrindo” (concava para cima) ou “chorando” (concava para baixo). Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função é determinada pela segunda derivada. Então, vamos começar encontrando a primeira derivada de
.
A função que temos é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade. Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar o numerador:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada
, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar a concavidade.
Primeiro, olhamos para o denominador
:
- Quando
, ou seja, , o denominador é positivo. - Quando
, ou seja, , o denominador é negativo.
Agora, olhamos para o numerador
:
-
é sempre positivo, porque é positivo para todo , então multiplicado por 3 e somado com 4 continua positivo. - Portanto, o numerador é sempre positivo.
Passo 5
Com base nisso:
-
Para
: - Numerador positivo
- Denominador positivo
- Então,
→ Concavidade para cima
-
Para
: - Numerador positivo
- Denominador negativo
- Então,
→ Concavidade para baixo
Também precisamos considerar os pontos onde a função não está definida, ou seja,
e
, mas isso não afeta a concavidade diretamente, apenas indica onde o gráfico tem assíntotas.
Resposta
A função
é concava para cima nos intervalos
e
, e concava para baixo no intervalo
.
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Considere a função
.
(d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
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Seja
a superfície dada sob a forma parametrizada por
Se
é o bordo de
, calcule
.
[30 pontos] Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que .
(a) [12 pontos] Mostre que
[30 pontos] Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede.
© pontos] Qual o valor da soma
? Justifique sua resposta.
©