[30 pontos] Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que
.
(a) [12 pontos] Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e precisamos demonstrar que ela pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como séries de Taylor e manipulação de séries geométricas. Vamos passo a passo entender como chegar nessa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para
em torno de
é conhecida. A fórmula geral é:
Aqui,
é uma variável que representa a parte que vai dentro do logaritmo. No nosso caso, temos
, então podemos identificar
.
Passo 3
Substituindo
na série de Taylor, temos:
Vamos simplificar essa expressão para ficar mais parecida com o que queremos mostrar.
Passo 4
Primeiro, vamos distribuir o
:
Agora, vamos reorganizar os termos um pouco. Note que
começa em 1, mas vamos mudar o índice para que comece em 0, facilitando a comparação com o que queremos provar.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Assim, quando
,
, e a soma fica:
Simplificando os sinais de
:
Passo 6
Agora, renomeando
de volta para
(já que é apenas um índice):
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(g) Estude a concavidade de .
(g) Estude a concavidade de
Considere a função
.
(d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
(d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de
[30 pontos] Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede.
© pontos] Qual o valor da soma
? Justifique sua resposta.
©
[50 pontos] Assinale V ou F:
© [ ] A série é condicionalmente convergente.
© [ ] A série