[30 pontos] Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e precisamos demonstrar que ela pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como séries de Taylor e manipulação de séries geométricas. Vamos passo a passo entender como chegar nessa representação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para em torno de é conhecida. A fórmula geral é:
Aqui, é uma variável que representa a parte que vai dentro do logaritmo. No nosso caso, temos , então podemos identificar .

Passo 3

Substituindo na série de Taylor, temos:
Vamos simplificar essa expressão para ficar mais parecida com o que queremos mostrar.

Passo 4

Primeiro, vamos distribuir o :
Agora, vamos reorganizar os termos um pouco. Note que começa em 1, mas vamos mudar o índice para que comece em 0, facilitando a comparação com o que queremos provar.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Assim, quando , , e a soma fica:
Simplificando os sinais de :

Passo 6

Agora, renomeando de volta para (já que é apenas um índice):

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Considere a função .
(g) Estude a concavidade de .
Considere a função .
(d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
[30 pontos] Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede.
© pontos] Qual o valor da soma ? Justifique sua resposta.
[50 pontos] Assinale V ou F:
© [ ] A série é condicionalmente convergente.