[30 pontos] Suponha que a função definida por f(x)=ln (1+2 x) possua uma representação em série de potências em torno de x=0. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que f(x)=sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 x^n+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e precisamos demonstrar que ela pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como séries de Taylor e manipulação de séries geométricas. Vamos passo a passo entender como chegar nessa representação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para ln(1 + u) = sumn=1^infty (-1)^n+1n u^n para |u| < 1 em torno de é conhecida. A fórmula geral é:
Aqui, é uma variável que representa a parte que vai dentro do logaritmo. No nosso caso, temos , então podemos identificar .

Passo 3

Substituindo ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n (2x)^n na série de Taylor, temos:
Vamos simplificar essa expressão para ficar mais parecida com o que queremos mostrar.

Passo 4

Primeiro, vamos distribuir o ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n 2^n x^n :
Agora, vamos reorganizar os termos um pouco. Note que começa em 1, mas vamos mudar o índice para que comece em 0, facilitando a comparação com o que queremos provar.

Passo 5

Vamos fazer a substituição ln(1 + 2x) = summ=0^infty (-1)^(m+1)+1m+1 2^m+1 x^m+1 . Assim, quando ln(1 + 2x) = summ=0^infty (-1)^mm+1 2^m+1 x^m+1 , , e a soma fica:
Simplificando os sinais de :

Passo 6

Agora, renomeando ln(1 + 2x) = sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 x^n+1 de volta para (já que é apenas um índice):

Resposta

Assim, mostramos que:
f(x) = ln(1 + 2x) = sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 x^n+1

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