Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(b) é o triângulo no plano cujos vértices são e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Basicamente, queremos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é um triângulo no plano com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , parametrizar a superfície limitada por e, finalmente, calcular a integral de superfície resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como sua fronteira. A fórmula é:
Aqui, é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , ou seja, . Dados:
O rotacional é calculado pela seguinte matriz determinante:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície limitada pela curva . Como é um triângulo no plano , podemos descrever usando coordenadas e .
A equação do plano é , então a parametrização pode ser:
Os limites para e são definidos pelos vértices do triângulo: , e .

Passo 5

Vamos calcular o vetor normal à superfície . Para isso, usamos as derivadas parciais da parametrização:
O vetor normal é o produto vetorial :
Para garantir a orientação positiva, mantemos o vetor normal como está.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
Substituindo e :
A integral fica:
Como , mas já incorporamos na expressão, podemos integrar diretamente sobre a área do triângulo no plano .

Passo 7

Vamos definir os limites de integração. O triângulo está limitado por , , e .
Então, os limites são:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em :
Simplificando:

Passo 9

Agora, integrando em :
Substituindo :

Resposta

A integral é igual a 14.

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Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
© é o círculo , no plano ;
Determinar uma representação vetorial das seguintes curvas:
Considere a função dada por
d) Prove que, para todo no domínio de ,
Considere a função .
(e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de .