Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(b) F(x, y, z)=-3 y^2 i+4 z j+6 x k, C é o triângulo no plano z=y / 2 cujos vértices são (2,0,0),(0,2,1) e (0,0,0) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Basicamente, queremos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é um triângulo no plano com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , parametrizar a superfície limitada por e, finalmente, calcular a integral de superfície resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como sua fronteira. A fórmula é:
Aqui, é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F = -3y^2i + 4zj + 6xk , ou seja, nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z -3y^2 & 4z & 6x . Dados:
partialpartial y(6x) - partialpartial z(4z) = 0 - 4 = -4
O rotacional é calculado pela seguinte matriz determinante:
partialpartial z(-3y^2) - partialpartial x(6x) = 0 - 6 = -6
Calculando cada componente:
  • Componente partialpartial x(4z) - partialpartial y(-3y^2) = 0 - (-6y) = 6y :
nabla times F = -4i -6j +6yk
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície r(x, y) = xi + yj + y2k limitada pela curva . Como é um triângulo no plano , podemos descrever usando coordenadas e .
A equação do plano é , então a parametrização pode ser:
Os limites para e são definidos pelos vértices do triângulo: , e .

Passo 5

Vamos calcular o vetor normal rx = partial rpartial x = i à superfície ry = partial rpartial y = j + 12k . Para isso, usamos as derivadas parciais da parametrização:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & 12 = i(0 cdot 12 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 12 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0i - 12j + 1k
O vetor normal é o produto vetorial :
Para garantir a orientação positiva, mantemos o vetor normal como está.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo (nabla times F) cdot n = (-4)cdot 0 + (-6)cdot (-12) + 6y cdot 1 = 0 + 3 + 6y = 3 + 6y e integral duplaS (3 + 6y) , dS :
A integral fica:
Como , mas já incorporamos na expressão, podemos integrar diretamente sobre a área do triângulo no plano .

Passo 7

Vamos definir os limites de integração. O triângulo está limitado por x in [0, 2], y in [0, 2 - x] , integral0^2 integral0^2 - x (3 + 6y) , dy , dx , e .
Então, os limites são:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em integral0^2 - x (3 + 6y) , dy = 3y + 3y^2 |0^2 - x = 3(2 - x) + 3(2 - x)^2 :
= 6 - 3x + 3(4 - 4x + x^2) = 6 - 3x + 12 - 12x + 3x^2 = 18 - 15x + 3x^2
Simplificando:

Passo 9

Agora, integrando em integral0^2 (18 - 15x + 3x^2) , dx = 18x - 152x^2 + x^3 |0^2 :
18(2) - 152(4) + 8 = 36 - 30 + 8 = 14
Substituindo :

Resposta

A integral é igual a 14.

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