Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(b) é o triângulo no plano cujos vértices são e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Basicamente, queremos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é um triângulo no plano com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , parametrizar a superfície limitada por e, finalmente, calcular a integral de superfície resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como sua fronteira. A fórmula é:
Aqui, é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , ou seja, . Dados:
O rotacional é calculado pela seguinte matriz determinante:
Agora, precisamos parametrizar a superfície r(x, y) = xi + yj + y2k limitada pela curva . Como é um triângulo no plano , podemos descrever usando coordenadas e .
A equação do plano é , então a parametrização pode ser:
Os limites para e são definidos pelos vértices do triângulo: , e .
Passo 5
Vamos calcular o vetor normal rx = partial rpartial x = i à superfície ry = partial rpartial y = j + 12k . Para isso, usamos as derivadas parciais da parametrização:
Para garantir a orientação positiva, mantemos o vetor normal como está.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo (nabla times F) cdot n = (-4)cdot 0 + (-6)cdot (-12) + 6y cdot 1 = 0 + 3 + 6y = 3 + 6y e integral duplaS (3 + 6y) , dS :
A integral fica:
Como , mas já incorporamos na expressão, podemos integrar diretamente sobre a área do triângulo no plano .
Passo 7
Vamos definir os limites de integração. O triângulo está limitado por x in [0, 2], y in [0, 2 - x] , integral0^2 integral0^2 - x (3 + 6y) , dy , dx , e .
Então, os limites são:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em integral0^2 - x (3 + 6y) , dy = 3y + 3y^2 |0^2 - x = 3(2 - x) + 3(2 - x)^2 :