[30 pontos] Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede.
© pontos] Qual o valor da soma ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos encontrar o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar a representação em série de potências da função logarítmica e fazer umas substituições legais. Vamos precisar conhecer séries de potências, propriedades de logaritmos e um pouco de manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser representada como uma série de potências em torno de :
Neste caso, nossa função é , então substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos reescrever o índice da soma para começar de . Para isso, fazemos uma mudança de variável: deixamos , então quando , . A série fica:
Agora, para facilitar, vamos ajustar os termos para que fiquem semelhantes à soma que queremos encontrar.

Passo 4

Observe que na soma que queremos calcular, temos e . Podemos reescrever esses termos:
Então, nossa soma original pode ser escrita como:

Passo 5

Perceba que a soma dentro da expressão acima se assemelha à série que obtivemos para . Se compararmos, podemos identificar que:
No entanto, para facilitar, podemos reconhecer que essa soma é igual a , usando a propriedade da série logarítmica.

Passo 6

Calculando :
Então, a soma fica:

Resposta

O valor da soma é .

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[30 pontos] Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que .
Considere a função .
(g) Estude a concavidade de .
[50 pontos] Assinale V ou F:
© [ ] A série é condicionalmente convergente.
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)