[30 pontos] Suponha que a função definida por f(x)=ln (1+2 x) possua uma representação em série de potências em torno de x=0. Em cada item, faça o que se pede.
© [6 pontos] Qual o valor da soma sumn=0^infty (-1)^n 2^n+15^n+1(n+1) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^n+15^n+1 cdot (n+1) e queremos encontrar o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar a representação em série de potências da função logarítmica e fazer umas substituições legais. Vamos precisar conhecer séries de potências, propriedades de logaritmos e um pouco de manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot x^nn pode ser representada como uma série de potências em torno de ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot (2x)^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot 2^n cdot x^nn :
Neste caso, nossa função é , então substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos reescrever o índice da soma para começar de ln(1 + 2x) = summ=1^infty (-1)^m cdot 2^m cdot x^mm . Para isso, fazemos uma mudança de variável: deixamos , então quando , . A série fica:
Agora, para facilitar, vamos ajustar os termos para que fiquem semelhantes à soma que queremos encontrar.

Passo 4

Observe que na soma que queremos calcular, temos 2^n+15^n+1 = ( 25 )^n+1 = 25 cdot ( 25 )^n e sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^n+15^n+1 cdot (n+1) = 25 sumn=0^infty (-1)^n cdot ( 25 )^nn+1 . Podemos reescrever esses termos:
Então, nossa soma original pode ser escrita como:

Passo 5

Perceba que a soma dentro da expressão acima se assemelha à série que obtivemos para sumn=0^infty (-1)^n cdot ( 25 )^nn+1 = integral0^25 ln(1 + 2x) , dx . Se compararmos, podemos identificar que:
No entanto, para facilitar, podemos reconhecer que essa soma é igual a , usando a propriedade da série logarítmica.

Passo 6

Calculando 1 + 25 = 55 + 25 = 75 :
25 cdot ln(75)
Então, a soma fica:

Resposta

O valor da soma é .

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