[30 pontos] Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede.
©
pontos] Qual o valor da soma
? Justifique sua resposta.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos encontrar o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar a representação em série de potências da função logarítmica e fazer umas substituições legais. Vamos precisar conhecer séries de potências, propriedades de logaritmos e um pouco de manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser representada como uma série de potências em torno de
:
Neste caso, nossa função é
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o índice da soma para começar de
. Para isso, fazemos uma mudança de variável: deixamos
, então quando
,
. A série fica:
Agora, para facilitar, vamos ajustar os termos para que fiquem semelhantes à soma que queremos encontrar.
Passo 4
Observe que na soma que queremos calcular, temos
e
. Podemos reescrever esses termos:
Então, nossa soma original pode ser escrita como:
Passo 5
Perceba que a soma dentro da expressão acima se assemelha à série que obtivemos para
. Se compararmos, podemos identificar que:
No entanto, para facilitar, podemos reconhecer que essa soma é igual a
, usando a propriedade da série logarítmica.
Passo 6
Calculando
:
Então, a soma fica:
Resposta
O valor da soma é
.
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[30 pontos] Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [12 pontos] Mostre que .
(a) [12 pontos] Mostre que
Considere a função
.
(g) Estude a concavidade de .
(g) Estude a concavidade de
[50 pontos] Assinale V ou F:
© [ ] A série é condicionalmente convergente.
© [ ] A série
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)