Considere a função f(x)=-x²-4x+2 e as afirmações a seguir:
I- o gráfico da função possui concavidade para cima I
I- o gráfico da função intercepta o eixo OY em P (0,2).
III-o vértice da função será o ponto V (-2,6).
IV-trata-se de uma função crescente.
V-para x=0, temos f(x)=-3. é correto afirmar que:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos a função $ f(x) = -x^2 - 4x + 2 $ e cinco afirmações sobre o seu gráfico. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações estão corretas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções do segundo grau, como identificar a concavidade, pontos de interseção com os eixos, o vértice da parábola e o comportamento crescente ou decrescente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a concavidade do gráfico da função. A concavidade de uma parábola é determinada pelo coeficiente de $ x^2 $. Se $ a > 0 $, a concavidade é para cima; se $ a < 0 $, é para baixo. Na nossa função, $ a = -1 $, que é menor que zero. Portanto, o gráfico da função tem concavidade para baixo. Assim, a afirmação I está incorreta.

Passo 3

Agora, vamos verificar onde a função intercepta o eixo $ OY $. Para encontrar a interseção com o eixo $ OY $, substituímos $ x = 0 $ na função:
OY
Portanto, o ponto de interseção é $ P(0, 2) $, confirmando a afirmação II como correta.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
x
Substituindo $ x = -2 $ na função para encontrar $ y_v $:
xv = -b2a = --42 cdot (-1) = 4-2 = -2
Então, o vértice é $ V(-2, 6) $, o que torna a afirmação III correta.

Passo 5

Vamos agora analisar se a função é crescente. Como a concavidade é para baixo e o vértice está em $ x = -2 $, a função é crescente para $ x < -2 $ e decrescente para $ x > -2 $. Portanto, a afirmação IV, que diz que a função é crescente, está incorreta.

Passo 6

Finalmente, verificamos a afirmação V, que diz que para $ x = 0 $, $ f(x) = -3 $. Já calculamos que $ f(0) = 2 $, então essa afirmação está claramente incorreta.

Resposta

As afirmações II e III estão corretas.

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