Considere a função f(x) = 5 + 12 x - 5 x^3, definida nos reais. O intervalo em que a função é crescente é:
(A)
(-raiz(2/3), raiz(2/3))
(B)
(-raiz(3/2), raiz(3/2))
©
(-raiz(4/3), raiz(4/3))
(D)
(-raiz(4/5), raiz(4/5))
(E)
(-raiz(5/4), raiz(5/4))

Passo 1

Então, a gente tem a função definida para todos os números reais. A pergunta é: em qual intervalo essa função está crescendo? Para descobrir isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva em um intervalo, isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
A função dada é:
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de 5 é 0.
  • A derivada de é 12.
  • A derivada de é .
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, queremos saber onde é maior que 0, ou seja:
Vamos resolver essa inequação:
Isso significa que:

Passo 4

Para encontrar os valores de que satisfazem essa desigualdade, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso resulta em:

Resposta

A função está crescente no intervalo . Portanto, a opção correta é a letra (D).

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Um modelo para o crescimento de certo tipo de bactéria num determinado meio é dado por:
x(t) = 10 * e^(-1/t^2)
onde o tempo t é dado em horas e x(t) expressa o número de bactérias em função do tempo (dado em milhões), ambos valores positivos. Devido às
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A) t = e^2
(B) t = raiz(5) / 2
© t = raiz(6) / 3
(D) t = 1/2
(E) t = e^(-1)
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
c) f(x) = x^4 - x^3
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = (x + e^(y^2), x^3 + 3*x*y^2 + 2*x*y*e^(y^2))
para mover uma partícula pela metade superior do círculo x^2 + y^2 = 4 do ponto 2,0 ao (-2,0).
Derive a função. f(x) = log10(x^3 + 1)