Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
c) f(x) = x^4 - x^3

Passo 1

Vamos analisar a função para identificar seus pontos críticos e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada primeira, , nos mostra onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem existir pontos críticos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação :
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar cada ponto crítico, vamos usar a derivada segunda da função, , que nos indica a concavidade da função e ajuda a determinar se o ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:

Passo 5

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
Quando a derivada segunda é zero, o teste é inconclusivo. Nesse caso, precisamos analisar a derivada primeira ao redor do ponto ou usar outras técnicas.
Analisando a derivada primeira:
  • Para : escolha , (decrescente)
  • Para : escolha , (crescente)
A derivada muda de negativa para positiva passando por , o que normalmente indicaria um mínimo local. Contudo, como a derivada segunda é zero, precisamos verificar mais a fundo. Observando o comportamento da função, constatamos que é um ponto de sela, já que a função não apresenta um mínimo ou máximo claro nesse ponto.
  1. Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.

Resposta

A função possui dois pontos críticos:
  1. : Ponto de sela.
  2. : Mínimo local.

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