Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
c)
c)
Passo 1
Vamos analisar a função
para identificar seus pontos críticos e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira,
, nos mostra onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem existir pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação
:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar cada ponto crítico, vamos usar a derivada segunda da função,
, que nos indica a concavidade da função e ajuda a determinar se o ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Passo 5
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
Quando a derivada segunda é zero, o teste é inconclusivo. Nesse caso, precisamos analisar a derivada primeira ao redor do ponto ou usar outras técnicas.
Analisando a derivada primeira:
- Para
: escolha , (decrescente) - Para
: escolha , (crescente)
A derivada muda de negativa para positiva passando por
, o que normalmente indicaria um mínimo local. Contudo, como a derivada segunda é zero, precisamos verificar mais a fundo. Observando o comportamento da função, constatamos que
é um ponto de sela, já que a função não apresenta um mínimo ou máximo claro nesse ponto.
- Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Resposta
A função
possui dois pontos críticos:
-
: Ponto de sela. -
: Mínimo local.
Exercícios relacionados
Qual a equação da reta tangente à função
?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Calcule a derivada das seguintes funções:
b)
b)
Um modelo para o crescimento de certo tipo de bactéria num determinado meio é dado por:
onde o tempo
é dado em horas e
expressa o número de bactérias em função do tempo (dado em milhões), ambos valores positivos. Devido às
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Considere a função
, definida nos reais. O intervalo em que a função é crescente é:
(A)
(A)
(B)
©
(D)
(E)