Um modelo para o crescimento de certo tipo de bactéria num determinado meio é dado por:
x(t) = 10 * e^(-1/t^2)
onde o tempo t é dado em horas e x(t) expressa o número de bactérias em função do tempo (dado em milhões), ambos valores positivos. Devido às
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A) t = e^2
(B) t = raiz(5) / 2
© t = raiz(6) / 3
(D) t = 1/2
(E) t = e^(-1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o crescimento de bactérias ao longo do tempo:
Queremos descobrir em que instante de tempo o crescimento das bactérias começa a desacelerar. Isso ocorre exatamente no ponto onde o gráfico da função muda de concavidade, ou seja, no ponto de inflexão. Para encontrar esse ponto, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e determinar onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, nesse caso, em relação ao tempo . A segunda derivada, por sua vez, nos informa sobre a concavidade do gráfico da função.
Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada e encontrar o valor de que faz com que .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da função :
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Precisamos derivar :
Aplicando novamente a regra do produto e da cadeia:
Calculando as derivadas individuais:
E
Substituindo de volta:
Fatorando :

Passo 5

Para encontrar o ponto de inflexão, definimos :
Sabemos que nunca é zero para , então:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Resposta

A mudança de concavidade ocorre no instante . Portanto, a resposta correta é a opção © .

Exercícios relacionados

Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
c) f(x) = x^4 - x^3
Qual a equação da reta tangente à função y = 4 x^3 + 3 x^2 + x + 5 em x = 0 ?
(A) y = x + 5
(B) y = 5 x + 1
© y = -x + 1
(D) y = x - 5
(E) y = x - 1
Considere a função f(x) = 5 + 12 x - 5 x^3, definida nos reais. O intervalo em que a função é crescente é:
(A)
(-raiz(2/3), raiz(2/3))
(B)
(-raiz(3/2), raiz(3/2))
©
(-raiz(4/3), raiz(4/3))
(D)
(-raiz(4/5), raiz(4/5))
(E)
(-raiz(5/4), raiz(5/4))
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = (x + e^(y^2), x^3 + 3*x*y^2 + 2*x*y*e^(y^2))
para mover uma partícula pela metade superior do círculo x^2 + y^2 = 4 do ponto 2,0 ao (-2,0).