Um modelo para o crescimento de certo tipo de bactéria num determinado meio é dado por:
onde o tempo
é dado em horas e
expressa o número de bactérias em função do tempo (dado em milhões), ambos valores positivos. Devido às
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o crescimento de bactérias ao longo do tempo:
Queremos descobrir em que instante de tempo o crescimento das bactérias começa a desacelerar. Isso ocorre exatamente no ponto onde o gráfico da função muda de concavidade, ou seja, no ponto de inflexão. Para encontrar esse ponto, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e determinar onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, nesse caso, em relação ao tempo
. A segunda derivada, por sua vez, nos informa sobre a concavidade do gráfico da função.
Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada
e encontrar o valor de
que faz com que
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada
da função
:
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Precisamos derivar
:
Aplicando novamente a regra do produto e da cadeia:
Calculando as derivadas individuais:
E
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Passo 5
Para encontrar o ponto de inflexão, definimos
:
Sabemos que
nunca é zero para
, então:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resposta
A mudança de concavidade ocorre no instante
. Portanto, a resposta correta é a opção ©
.
Exercícios relacionados
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
c)
c)
Qual a equação da reta tangente à função
?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Considere a função
, definida nos reais. O intervalo em que a função é crescente é:
(A)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
para mover uma partícula pela metade superior do círculo
do ponto
ao
.