Um modelo para o crescimento de certo tipo de bactéria num determinado meio é dado por:
x(t) = 10 * e^(-1/t^2)
onde o tempo t é dado em horas e x(t) expressa o número de bactérias em função do tempo (dado em milhões), ambos valores positivos. Devido às
condições do meio, como disponibilidade de alimento entre outros, o número de bactérias não pode exceder 10 milhões. Então, em determinado instante, o crescimento de bactérias entra em desaceleração (justamente o ponto onde o gráfico muda de concavidade). Pergunta-se em que instante de tempo ocorre essa mudança:
(A) t = e^2
(B) t = raiz(5) / 2
© t = raiz(6) / 3
(D) t = 1/2
(E) t = e^(-1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o crescimento de bactérias ao longo do tempo:
Queremos descobrir em que instante de tempo o crescimento das bactérias começa a desacelerar. Isso ocorre exatamente no ponto onde o gráfico da função muda de concavidade, ou seja, no ponto de inflexão. Para encontrar esse ponto, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e determinar onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, nesse caso, em relação ao tempo . A segunda derivada, por sua vez, nos informa sobre a concavidade do gráfico da função.
Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada e encontrar o valor de que faz com que .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da função :
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Precisamos derivar :
Aplicando novamente a regra do produto e da cadeia:
Calculando as derivadas individuais:
E
Substituindo de volta:
Fatorando :

Passo 5

Para encontrar o ponto de inflexão, definimos :
Sabemos que nunca é zero para , então:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Resposta

A mudança de concavidade ocorre no instante . Portanto, a resposta correta é a opção © .

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