Considere a função f(x) = 2x^4 - 4x^3 no intervalo [-1, 3]. Em quais intervalos a função está crescendo e em quais ela está decrescendo?

Passo 1

Beleza, estamos vendo a função no intervalo de a . O objetivo aqui é descobrir em quais partes desse intervalo a função está aumentando e em quais está diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Vamos derivar cada termo:

Passo 3

Agora, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está diminuindo.
Primeiro, fatoramos a derivada para facilitar a análise:

Passo 4

Identificamos os pontos onde a derivada é zero ou não está definida, pois são esses pontos que podem mudar o comportamento da função. Então, resolvemos:
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Agora, dividimos o intervalo em partes com base nas raízes encontradas: , , e . Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal da derivada.
  1. Intervalo : Escolhemos
    A derivada é negativa, então a função está diminuindo.
  2. Intervalo : Escolhemos
    A derivada é negativa, então a função está diminuindo.
  3. Intervalo : Escolhemos
    A derivada é positiva, então a função está aumentando.

Resposta

A função está decrescendo nos intervalos e , e está crescendo no intervalo .

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