Considere a função
no intervalo
. Em quais intervalos a função está crescendo e em quais ela está decrescendo?
Passo 1
Beleza, estamos vendo a função
no intervalo de
a
. O objetivo aqui é descobrir em quais partes desse intervalo a função está aumentando e em quais está diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Vamos derivar cada termo:
Passo 3
Agora, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada
. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está diminuindo.
Primeiro, fatoramos a derivada para facilitar a análise:
Passo 4
Identificamos os pontos onde a derivada é zero ou não está definida, pois são esses pontos que podem mudar o comportamento da função. Então, resolvemos:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Agora, dividimos o intervalo
em partes com base nas raízes encontradas:
,
, e
. Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal da derivada.
-
Intervalo
: Escolhemos A derivada é negativa, então a função está diminuindo. -
Intervalo
: Escolhemos A derivada é negativa, então a função está diminuindo. -
Intervalo
: Escolhemos A derivada é positiva, então a função está aumentando.
Resposta
A função
está decrescendo nos intervalos
e
, e está crescendo no intervalo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Verifique as identidades.
.
Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
Encontre as primeiras derivadas em relação a
, ou seja,
, das seguintes funções:
Encontre as primeiras derivadas em relação a
, ou seja,
, das seguintes funções: