Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
f(x) = x^2 - 1/(3*x^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos de inflexão dela, caso existam, além de estudar sua concavidade. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Aplicando a regra da potência:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da função. Derivando :

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos determinar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ou não está definida. Vamos resolver :

Passo 5

Com as potenciais soluções e , vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos. Se a segunda derivada muda de sinal, então temos um ponto de inflexão.
  • Para : Escolha :
  • Para : Escolha :
  • Para : Escolha :
Como a concavidade muda em e , esses são pontos de inflexão.

Resposta

A função possui pontos de inflexão em e . A concavidade é para cima nos intervalos e , e para baixo no intervalo .

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