Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os pontos de inflexão dela, caso existam, além de estudar sua concavidade. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Aplicando a regra da potência:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da função. Derivando
:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos determinar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
ou não está definida. Vamos resolver
:
Passo 5
Com as potenciais soluções
e
, vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos. Se a segunda derivada muda de sinal, então temos um ponto de inflexão.
- Para
: Escolha :
- Para
: Escolha :
- Para
: Escolha :
Como a concavidade muda em
e
, esses são pontos de inflexão.
Resposta
A função
possui pontos de inflexão em
e
. A concavidade é para cima nos intervalos
e
, e para baixo no intervalo
.
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Sejam
e
. Verifique as identidades.
.
Considere a função
no intervalo
. Em quais intervalos a função está crescendo e em quais ela está decrescendo?