Sejam
e
. Verifique as identidades.
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor posição
e a magnitude desse vetor
. A tarefa é verificar a identidade
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função escalar e aplicar isso à função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar
é dado por:
No nosso caso, a função é
, onde
. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
De forma similar, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 5
Agora, juntando tudo para formar o gradiente:
Isso pode ser escrito de forma compacta como:
Resposta
Portanto, verificamos que
está correta.
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Considere a função
no intervalo
. Em quais intervalos a função está crescendo e em quais ela está decrescendo?
Encontre as primeiras derivadas em relação a
, ou seja,
, das seguintes funções: