Sejam r = x i + y j + z k e r = ||r||. Verifique as identidades. nabla(1/r) = -r / r^3.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor posição e a magnitude desse vetor . A tarefa é verificar a identidade . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função escalar e aplicar isso à função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar f(x, y, z) é dado por:
No nosso caso, a função é , onde . Precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular . Primeiro, derivamos f em relação a r:
Agora, derivamos r em relação a x:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

De forma similar, calculamos as derivadas parciais em relação a y e z:

Passo 5

Agora, juntando tudo para formar o gradiente:
Isso pode ser escrito de forma compacta como:

Resposta

Portanto, verificamos que está correta.

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Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
f(x) = x^2 - 1/(3*x^2)
Calcule os pontosde máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y = raiz(3)(6 x^2) - 2 x
Considere a função f(x) = 2x^4 - 4x^3 no intervalo [-1, 3]. Em quais intervalos a função está crescendo e em quais ela está decrescendo?
Encontre as primeiras derivadas em relação a x, ou seja, f'(x), das seguintes funções: f(x) = 3/x^5 + 2/x^3 - 4x^2 - 3/5