Considere a função
f(x) = { -x/2, se x < 1; 1/raiz(x), se x ≥ 1 }
Podemos dizer que f é diferenciável em x0 = 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é diferenciável em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre continuidade e derivadas laterais. Precisamos checar se a função é contínua em 1 e se as derivadas pela esquerda e pela direita em 1 são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda for igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Calculando o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 4

Calculando o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Agora, vamos ver o valor da função em :

Passo 6

Comparando os limites:
  • Pela esquerda:
  • Pela direita:
  • Valor da função:
Como , a função não é contínua em .

Passo 7

Como a função não é contínua em , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nele.

Resposta

Não, a função não é diferenciável em .

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f(x) = (x + 4) / (x + 2), x0 = 0.
$f(x)=4 x-3 x^{2}, x_{0}=2$;
f(x) = (x^6 + x^4 + x^2)(x^5 + x^3 + x)
f(x) = e^(2 x), x0 = 0