Considere a função
Podemos dizer que
é diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é diferenciável em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre continuidade e derivadas laterais. Precisamos checar se a função é contínua em 1 e se as derivadas pela esquerda e pela direita em 1 são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda for igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Calculando o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Passo 4
Calculando o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Passo 5
Agora, vamos ver o valor da função em
:
Passo 6
Comparando os limites:
- Pela esquerda:
- Pela direita:
- Valor da função:
Como
, a função não é contínua em
.
Passo 7
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nele.
Resposta
Não, a função
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
$f(x)=4 x-3 x^{2}, x_{0}=2$;