Calcule os limites abaixo.
lim x +infty(raiz4 x^2-3 x+2-raiz4 x^2+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando lim x +infty(raiz4 x^2-3 x+2-raiz4 x^2+2) tende a mais infinito da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções de limite envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e como os termos de maior grau dominam quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada raiz separadamente. Quando raiz4x^2 - 3x + 2 approx raiz4x^2 = 2x fica muito grande, os termos com raiz4x^2 + 2 approx raiz4x^2 = 2x vão dominar os outros termos. Então, podemos simplificar cada raiz da seguinte forma:
Se fizermos isso, a expressão original pareceria . Mas isso é muito simplificado e não nos dá a resposta final. Precisamos ser mais precisos para capturar a diferença entre as duas raízes.

Passo 3

Vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar expressões que envolvem a diferença de raízes. Multiplicamos e dividimos a expressão pela conjugada da diferença:
limx to +infty (raiz4x^2 - 3x + 2 - raiz4x^2 + 2) times raiz4x^2 - 3x + 2 + raiz4x^2 + 2raiz4x^2 - 3x + 2 + raiz4x^2 + 2
Isso nos ajuda a eliminar as raízes no numerador.

Passo 4

Aplicando a multiplicação, o numerador se torna:
(raiz4x^2 - 3x + 2)^2 - (raiz4x^2 + 2)^2 = (4x^2 - 3x + 2) - (4x^2 + 2) = -3x
Então, a expressão agora fica:
limx to +infty -3xraiz4x^2 - 3x + 2 + raiz4x^2 + 2

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Como raiz4x^2 - 3x + 2 = x raiz4 - 3x + 2x^2 approx x raiz4 = 2x está indo para o infinito, podemos fatorar raiz4x^2 + 2 = x raiz4 + 2x^2 approx x raiz4 = 2x das raízes:
Então, o denominador aproximadamente é .

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão, temos:
limx to +infty -3x4x = limx to +infty -34 = -34

Resposta

O limite é igual a .

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