Calcule os limites abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando
tende a mais infinito da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções de limite envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e como os termos de maior grau dominam quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada raiz separadamente. Quando
fica muito grande, os termos com
vão dominar os outros termos. Então, podemos simplificar cada raiz da seguinte forma:
Se fizermos isso, a expressão original pareceria
. Mas isso é muito simplificado e não nos dá a resposta final. Precisamos ser mais precisos para capturar a diferença entre as duas raízes.
Passo 3
Vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar expressões que envolvem a diferença de raízes. Multiplicamos e dividimos a expressão pela conjugada da diferença:
Isso nos ajuda a eliminar as raízes no numerador.
Passo 4
Aplicando a multiplicação, o numerador se torna:
Então, a expressão agora fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador. Como
está indo para o infinito, podemos fatorar
das raízes:
Então, o denominador aproximadamente é
.
Passo 6
Substituindo essa aproximação na expressão, temos:
Resposta
O limite é igual a
.