Considere a função
Calcule
e
. Existe
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de formas diferentes para valores maiores ou iguais a zero e para valores menores que zero. O que precisamos fazer é calcular os limites da função quando
se aproxima de zero pela direita (
) e pela esquerda (
). Depois, vamos verificar se o limite geral quando
se aproxima de zero existe ou não. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limites laterais e como calcular cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de zero pela direita, ou seja,
. Quando
está se aproximando de zero pela direita, isso significa que
está sendo um número positivo, igual ou próximo de zero. De acordo com a definição da função:
Então, para
:
Então, o limite fica:
Sabemos que
é uma função contínua, então podemos simplesmente substituir
por 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de zero pela esquerda, ou seja,
. Quando
está se aproximando de zero pela esquerda, isso significa que
é um número negativo, próximo de zero. De acordo com a definição da função:
Então, para
:
Portanto, o limite fica:
Como 2 é uma constante, o limite é simplesmente:
Passo 4
Agora que temos os dois limites laterais, vamos verificar se o limite geral
existe. Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais. Neste caso:
e
Como 0 não é igual a 2, os limites laterais são diferentes.
Resposta
Não existe
porque os limites laterais são diferentes:
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Obtenha os limites:
Considere a função
Esboce o gráfico da função acima.
Para cada função abaixo
e para cada
, calcule (quando existir):
e
, a=3