Considere a função f(x) = raiz(4 + 3 x + 4 x^3) / raiz(5 - 2 x + x^3), assinale a alternativa que representa a assintota horizontal de f
a) a reta associada a y = 5, ou seja {(x, y) em R^2: y = 5} e x em R
b) a reta associada a y = 3, ou seja {(x, y) em R^2: y = 3} e x em R
c) a reta associada a x = 3, ou seja {(x, y) em R^2: x = 3} e y ∈ R
d) a reta associada a y = 2, ou seja {(x, y) em R^2 : y = 2} e x em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a assíntota horizontal da função . Isso envolve entender um pouquinho sobre limites e comportamento de funções quando fica bem grande. Vamos precisar usar conceitos de limites no infinito e simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o que acontece com a função quando vai para o infinito, ou seja, quando fica muito, muito grande. Nessa situação, os termos de maior grau nas expressões dentro das raízes vão ser os mais importantes, porque eles crescem mais rápido que os outros.

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador:
    Aqui, o termo é o que mais cresce quando aumenta. Então, para simplificar, podemos considerar só esse termo:
  • Denominador:
    No denominador, o termo também é o que mais cresce. Então, simplificamos assim:

Passo 4

Agora, substituindo essas simplificações na função original, temos:
Isso mostra que, quando fica muito grande, a função se aproxima de 2. Ou seja, o limite de quando tende ao infinito é 2.

Resposta

A assíntota horizontal de é a reta . Portanto, a alternativa correta é a letra d).

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
lim x +infty 3 x+1x^2+1
Considere a função f(x) = 2*x^3 - 3*x + 5. Determine
reta tangente ao gráfico de f associada a abcissa x = -2;
Considere a função f(x) = (4 x (3 x + 5)) / (x^3 - 7 x), assinale a alternativa que representa a assintota vertical de f:
a). a reta associada a x = 5, ou seja {(x, y) ∈ R^2: x = 5} e y ∈ R
b). a reta associada a y = 7, ou seja {(x, y) in R^2: y=7} e x em R
c). a reta associada a x = 7, ou seja {(x, y) em R^2 : x = 7} e y ∈ R
d). a reta associada a x = 0, ou seja {(x, y) em R^2 : x = 0} e y ∈ R
Considere a função f(x) = 2*x^3 - 3*x + 5. Determine
reta tangente ao gráfico de fassociada a abcissa x = 4;