Considere a função f(x) = (4 x (3 x + 5)) / (x^3 - 7 x), assinale a alternativa que representa a assintota vertical de f:
a). a reta associada a x = 5, ou seja {(x, y) ∈ R^2: x = 5} e y ∈ R
b). a reta associada a y = 7, ou seja {(x, y) in R^2: y=7} e x em R
c). a reta associada a x = 7, ou seja {(x, y) em R^2 : x = 7} e y ∈ R
d). a reta associada a x = 0, ou seja {(x, y) em R^2 : x = 0} e y ∈ R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função matemática e precisamos descobrir qual das alternativas mostra a assíntota vertical dessa função. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma assíntota vertical e como encontrá-la numa função racional, que é basicamente uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma assíntota vertical. É uma reta vertical que a função se aproxima, mas nunca toca ou cruza. Matemáticamente, ocorre nos valores de que tornam o denominador da função igual a zero, desde que o numerador não seja zero nesse mesmo ponto (senão, tipo, pode ser um buraco no gráfico, não uma assíntota).

Passo 3

Vamos identificar onde o denominador é igual a zero. Nosso denominador é:
Para encontrar os valores de que tornam isso zero, igualamos a expressão a zero:
Podemos fatorar :
Agora, igualamos cada fator a zero:
  1. e
Portanto, os valores que tornam o denominador zero são , e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se o numerador também é zero nesses valores de . O numerador é:
Vamos igualar a zero:
Isso acontece quando:
Então, o numerador é zero quando e .

Passo 5

Agora, analisamos os valores onde o denominador é zero:
  • : Tanto o numerador quanto o denominador são zero. Isso indica que, nesse ponto, temos uma indeterminação, que geralmente resulta em um buraco no gráfico, não em uma assíntota vertical.
  • e : O denominador é zero, mas o numerador não é. Portanto, esses valores correspondem às assíntotas verticais da função.

Passo 6

Agora, vamos verificar as alternativas:
a) — Não relacionado aos nossos valores.
b) — Isso seria uma assíntota horizontal, não vertical.
c) não é igual a nem a , então não é uma assíntota vertical.
d) — Já vimos que nesse ponto ocorre uma indeterminação (buraco), então não é uma assíntota vertical.

Resposta

Nenhuma das alternativas apresenta as assíntotas verticais corretas ( e ). No entanto, dentre as opções fornecidas, a mais próxima é:
d). a reta associada a

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Considere a função f(x) = raiz(4 + 3 x + 4 x^3) / raiz(5 - 2 x + x^3), assinale a alternativa que representa a assintota horizontal de f
a) a reta associada a y = 5, ou seja {(x, y) em R^2: y = 5} e x em R
b) a reta associada a y = 3, ou seja {(x, y) em R^2: y = 3} e x em R
c) a reta associada a x = 3, ou seja {(x, y) em R^2: x = 3} e y ∈ R
d) a reta associada a y = 2, ou seja {(x, y) em R^2 : y = 2} e x em R
Calcule os limites:
lim x +infty 3 x+1x^2+1
Considere a função f(x) = 2*x^3 - 3*x + 5. Determine
reta tangente ao gráfico de fassociada a abcissa x = 4;
Calcule os limites:
lim x -infty raiz2 x^2+x+1raiz3 x^2+4.