Considere a função f(x) = sen(x), centrada em a = 3 * pi / 4. Determine a série de potências desta função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de potências da função , centrada em . Isso significa que queremos expressar a função seno como uma soma infinita de potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto de expansão . A fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de e avaliá-las em :
  1. Função original:
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:
  5. Quarta derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas vão se repetindo a cada quatro termos.

Passo 4

Agora, vamos colocar tudo isso na fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Perceba que cada termo seguinte envolve as derivadas sucessivas e o fatorial correspondente no denominador.

Resposta

A série de potências da função centrada em é dada por:
Ou, de forma geral:
Essa série representa a expansão de em torno de utilizando as derivadas da função nesse ponto.

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