Resolva as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem abaixo:
b) y'' + y' + y = 0 com condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = raiz(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais da equação e depois ajustar essas soluções às condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a determinar a forma da solução geral. Para a nossa equação , a equação característica é obtida substituindo por , por e por 1:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Calculando o discriminante :
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas.

Passo 4

Vamos agora encontrar as raízes complexas:
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 5

Com raízes da forma , a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e . Então, a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 7

Em seguida, vamos derivar a solução geral para encontrar :
Simplificando em :
Substituindo :

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores de e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:

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