Resolva as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem abaixo:
b)
com condições iniciais
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais da equação e depois ajustar essas soluções às condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a determinar a forma da solução geral. Para a nossa equação
, a equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Calculando o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas.
Passo 4
Vamos agora encontrar as raízes complexas:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 5
Com raízes da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, vamos derivar a solução geral para encontrar
:
Simplificando em
:
Substituindo
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores de
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Considere a função
, centrada em
. Determine a série de potências desta função.
Encontre um termo geral para as sequências abaixo, dados os 5 primeiros termos:
b)
b)
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.
29.
29.
Determine o maior conjunto no qual a função abaixo é contínua.