Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.
29. r(t) = < cos(t) sen(2t), sen(t) sen(2t), cos(2t) >

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar um computador para desenhar uma curva definida por uma equação vetorial. Isso está ligado ao estudo de curvas parametrizadas na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente da equação vetorial funciona e escolher os valores certos para o parâmetro para que a curva fique bem mostrada no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação vetorial dada:
Aqui, representa a posição de um ponto no espaço tridimensional para cada valor de .

Passo 3

Vamos separar cada componente para entender melhor:
Essas funções descrevem como as coordenadas , e mudam à medida que varia.

Passo 4

Agora, precisamos escolher o domínio de . O domínio é o intervalo de valores que vai assumir. Como as funções trigonométricas repetem a cada , faz sentido escolher de a para capturar um ciclo completo da curva:

Passo 5

Em seguida, vamos escolher um ponto de vista para visualizar a curva. Como a equação tem três componentes, é importante usar uma visualização 3D para realmente ver a forma da curva. Programas como o GeoGebra, MATLAB ou Python com bibliotecas como Matplotlib podem ser muito úteis para isso.

Passo 6

Com o domínio e o ponto de vista definidos, vamos plotar a curva usando um computador. Por exemplo, em Python, você poderia usar o seguinte código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = np.cos(t) * np.sin(2*t)
y = np.sin(t) * np.sin(2*t)
z = np.cos(2*t)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, label='Curva Vetorial')
ax.legend()
plt.show()
Esse código gera uma representação gráfica da curva em 3D.

Resposta

Após plotar a curva com variando de a e visualizando de uma perspectiva 3D, observamos que a curva forma uma figura com simetria circular no espaço, revelando sua verdadeira natureza tridimensional e ondulada.

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Resolva as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem abaixo:
b) y'' + y' + y = 0 com condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = raiz(3)
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Determine o maior conjunto no qual a função abaixo é contínua. f(x, y) = { x^2 y^3 / (2 x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
lim x 0 sen(10 x)e^x x-1