Considere a função f(x)=x-2 x|x|. Calcule lim x 0 f(x), caso exista

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a função e precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0, ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites laterais e a definição do valor absoluto.

Passo 2

Vamos analisar a função |x| = x, & se x > 0 -x, & se x < 0 . O termo é o valor absoluto de , que é definido da seguinte forma:
Isso significa que a expressão irá se comportar de maneira diferente dependendo se é positivo ou negativo.

Passo 3

Vamos dividir o cálculo do limite em dois casos: quando f(x) = x - 2xx = x - 2 se aproxima de 0 pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x - 2) = 0 - 2 = -2 ) e quando se aproxima pela esquerda ( f(x) = x - 2x-x = x + 2 ).
Caso 1: limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x + 2) = 0 + 2 = 2
Quando é positivo, . Então, a função fica:
Agora, calculamos o limite:
Caso 2:
Quando é negativo, . Assim, a função fica:
Calculando o limite:

Passo 4

Agora que temos os limites laterais, vamos comparar os resultados:
limx to 0^+ f(x) = -2 limx to 0^- f(x) = 2
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes: e .

Exercícios relacionados