Sabendo que lim x 0 sen xx=1 calcule: lim t 0 t g t sec 2 t3 t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
limt 0 t cdot tan t cdot sec 2t3t
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e usar algumas propriedades dos limites e das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dada. Note que no numerador temos t cdot tan t cdot sec 2t3t = tan t cdot sec 2t3 multiplicado por limt 0 tan t cdot sec 2t3 e , e no denominador temos . Podemos cancelar o que está no numerador e no denominador:
Agora, a expressão ficou mais simples:

Passo 3

Vamos analisar cada parte dessa nova expressão:
  1. : Sabemos que , ou seja, quando está próximo de 0.
  2. : Sabemos que . E como , quando se aproxima de 0, , então .

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão, temos:
tan t cdot sec 2t3 approx t cdot 13 = t3
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limt 0 t3 = 03 = 0 tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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