Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar a sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por: F(t) = -10 t^2 + 20 t + 10, determine: Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que mostra como a população de insetos muda com o tempo (em semanas). A função é . Nosso objetivo aqui é descobrir em que intervalo de tempo a população de insetos ainda está crescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma função está se comportando em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função estar “crescendo”. Quando a população está crescendo, isso quer dizer que a função está aumentando conforme o tempo passa. Para descobrir isso matematicamente, vamos usar a derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva ( ), a função está crescendo; se for negativa ( ), está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A função dada é:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos descobrir quando ela é positiva, ou seja, quando:
Vamos resolver essa desigualdade:
(subtraindo 20 dos dois lados)
(dividindo por -20 e lembrando que a desigualdade inverte)

Passo 5

A solução significa que, quando o tempo é menor que 1 semana, a derivada é positiva. Portanto, a população de insetos está crescendo nesse intervalo de tempo.

Resposta

A população de insetos ainda está crescendo no intervalo de tempo onde semana.

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