Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar a sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por:
, determine: Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que mostra como a população de insetos muda com o tempo (em semanas). A função é
. Nosso objetivo aqui é descobrir em que intervalo de tempo a população de insetos ainda está crescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma função está se comportando em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função estar “crescendo”. Quando a população está crescendo, isso quer dizer que a função
está aumentando conforme o tempo passa. Para descobrir isso matematicamente, vamos usar a derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva (
), a função está crescendo; se for negativa (
), está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A função dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos descobrir quando ela é positiva, ou seja, quando:
Vamos resolver essa desigualdade:
Passo 5
A solução
significa que, quando o tempo
é menor que 1 semana, a derivada
é positiva. Portanto, a população de insetos está crescendo nesse intervalo de tempo.
Resposta
A população de insetos ainda está crescendo no intervalo de tempo onde
semana.