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Considere a função
. Qual deve ser o valor de
, para que
seja continua na origem, ou seja, em
?
Considere a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis
que muda de expressão dependendo de
. O objetivo é encontrar o valor de
que faz a função ser contínua na origem, ou seja, em
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual a
.
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
. Já sabemos que
, então precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e igualar esse limite a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para simplificar, podemos converter para coordenadas polares, onde
e
. Assim, quando
, estamos nos aproximando da origem.
Substituindo:
Passo 4
Simplificando a expressão:
No numerador:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Independente do valor de
, o produto com
(que vai para zero) faz com que todo o limite seja zero.
Passo 6
Então, o limite da função quando
se aproxima de
é zero. Para que a função seja contínua na origem, precisamos que:
Resposta
O valor de
deve ser igual a 0 para que a função seja contínua na origem.