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Considere a função f(x, y) = { (x^3 + x y^2) / (x^2 + y^2), (x, y) != (0, 0) ; A, (x, y) = (0, 0) }. Qual deve ser o valor de A, para que f seja continua na origem, ou seja, em (x, y) = (0, 0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis que muda de expressão dependendo de . O objetivo é encontrar o valor de que faz a função ser contínua na origem, ou seja, em . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em . Já sabemos que , então precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para simplificar, podemos converter para coordenadas polares, onde e . Assim, quando , estamos nos aproximando da origem.
Substituindo:

Passo 4

Simplificando a expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando :
Independente do valor de , o produto com (que vai para zero) faz com que todo o limite seja zero.

Passo 6

Então, o limite da função quando se aproxima de é zero. Para que a função seja contínua na origem, precisamos que:

Resposta

O valor de deve ser igual a 0 para que a função seja contínua na origem.

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