Considere a função .
A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos saber se ela é diferenciável no ponto . Vamos trabalhar com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e critérios de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável nesse ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele local. Para verificar isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
  • Para :
  • Para :
Além disso, as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos onde , ou seja, em todos os pontos diferentes de .

Passo 5

Como as derivadas parciais e existem e são contínuas no ponto , isso confirma que a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

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