Considere a função
.
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos saber se ela é diferenciável no ponto
. Vamos trabalhar com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e critérios de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável nesse ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele local. Para verificar isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
-
Para
: -
Para
:
Além disso, as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos onde
, ou seja, em todos os pontos diferentes de
.
Passo 5
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas no ponto
, isso confirma que a função
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável no ponto
porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.