Considere a função
Encontre os máximos locais, os mínimos locais e os pontos de sela de . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . A questão pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e os pontos de sela dessa função. Para isso, vamos usar cálculo de várias variáveis, especificamente encontrando derivadas parciais e analisando a segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função, que são os pontos onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Vamos encontrar essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são as combinações de ou com ou , ou seja, os pontos , , e .

Passo 4

Agora precisamos classificar cada um desses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Vamos calcular para cada ponto crítico.
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Para :
Como e , esse ponto é um mínimo local.
  1. Para :
Como e , esse ponto é um máximo local.
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : ponto de sela
  • : mínimo local
  • : máximo local
  • : ponto de sela

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