Considere a função
Encontre os máximos locais, os mínimos locais e os pontos de sela de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. A questão pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e os pontos de sela dessa função. Para isso, vamos usar cálculo de várias variáveis, especificamente encontrando derivadas parciais e analisando a segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função, que são os pontos onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos encontrar essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Para
:
Então, os pontos críticos são as combinações de
ou
com
ou
, ou seja, os pontos
,
,
e
.
Passo 4
Agora precisamos classificar cada um desses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
- Para
:
Como
e
, esse ponto é um máximo local.
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: ponto de sela -
: mínimo local -
: máximo local -
: ponto de sela
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.
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? Justifique sua resposta.
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Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: