Considere a função f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2))
(d) Determine a imagem da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir qual é a imagem dessa função. Isso significa encontrar todos os valores possíveis que pode assumir quando e variam em todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do expoente: . Tanto quanto são sempre maiores ou iguais a zero, porque ao elevar qualquer número ao quadrado, o resultado nunca é negativo. Então, .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com a função . Sabemos que a função exponencial onde , tem valores que vão de 1 (quando ) até 0 (quando tende ao infinito). Ou seja, conforme aumenta, diminui.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função, como pode variar de 0 a infinito, vai variar de até . Portanto, os valores possíveis de estão entre 0 e 1.

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais tais que .

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