b)(Valor 1.0) Encontre os valores de , para os quais a finnção dada seja continua eml .
Passo 1
Vamos entender o exercício juntos! Temos uma função definida de duas maneiras diferentes:
O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para a função ser contínua no ponto , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular esse limite e igualá-lo a para encontrar os valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de :
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, tende a 0 quando se aproxima de .
Passo 3
Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares:
Sabemos que , então simplificamos:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de quando tende a 0. Como é uma função limitada (sempre estará entre -2 e 2), o produto com que tende a 0 fará com que todo o termo tenda a 0.
Portanto:
Passo 5
Agora que sabemos que o limite da função quando se aproxima de é 0, para que a função seja contínua em , devemos ter:
Passo 6
Resolvendo a equação :
Resposta
Os valores de que tornam a função contínua em são e .