Considere a funçăo
f(x, y) = { (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; k^2 - 3, se (x, y) = (0, 0) }
b)(Valor 1.0) Encontre os valores de k, para os quais a finnção dada seja continua eml
(0,0).

Passo 1

Vamos entender o exercício juntos! Temos uma função definida de duas maneiras diferentes:
O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para a função ser contínua no ponto , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular esse limite e igualá-lo a para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de :
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, tende a 0 quando se aproxima de .

Passo 3

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de quando tende a 0. Como é uma função limitada (sempre estará entre -2 e 2), o produto com que tende a 0 fará com que todo o termo tenda a 0.
Portanto:

Passo 5

Agora que sabemos que o limite da função quando se aproxima de é 0, para que a função seja contínua em , devemos ter:

Passo 6

Resolvendo a equação :

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua em são e .

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