Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida de forma diferente para o ponto
e para qualquer outro ponto
. O objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em várias variáveis, verificar a continuidade da função e analisar as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade da função em todos os pontos diferentes de
. Observe que para
, a função é dada por:
Aqui, a função é uma combinação de potências de
e
no numerador e no denominador. Desde que o denominador não seja zero (o que já está garantido para
), essa função é composta por funções polinomiais e racionais, que são diferenciáveis onde estão definidas. Portanto, para qualquer ponto
, a função
é diferenciável porque é composta por funções suaves e a divisão está bem definida.
Passo 3
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função
é diferenciável nesse ponto. Primeiramente, para que uma função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Vamos verificar a continuidade em
:
Se esse limite for igual a
, a função é contínua em
.
Para simplificar, podemos analisar o comportamento do numerador e do denominador à medida que
e
se aproximam de zero. O numerador tende a zero mais rápido ou mais lento que o denominador dependendo dos expoentes
e
. Sem valores específicos para
e
, assumimos que o limite tende a zero, garantindo a continuidade.
Em seguida, precisamos calcular as derivadas parciais de
em
e verificar se elas existem e são contínuas. No entanto, dado que a função é definida de forma diferente em
e pode haver diferentes comportamentos dependendo dos caminhos que se aproximam de
, é complexo afirmar sem mais detalhes sobre
e
.
Por isso, de forma geral, a função
pode não ser diferenciável em
, a menos que os expoentes
e
satisfaçam condições específicas que garantam a suavidade da função nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos
. A diferenciabilidade no ponto
depende dos valores dos expoentes
e
, e sem condições adicionais, não podemos afirmar que é diferenciável nesse ponto. Portanto, o conjunto dos pontos onde
é diferenciável é: