Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= x^d7+1 y^d8x^2 d7+2+y^2 d8 & se(x, y) neq(0,0) 0 & se(x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente para o ponto e para qualquer outro ponto . O objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em várias variáveis, verificar a continuidade da função e analisar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade da função em todos os pontos diferentes de f(x, y) = x^d7 +1 y^d8x^2d7 +2 + y^2d8 . Observe que para , a função é dada por:
Aqui, a função é uma combinação de potências de e no numerador e no denominador. Desde que o denominador não seja zero (o que já está garantido para ), essa função é composta por funções polinomiais e racionais, que são diferenciáveis onde estão definidas. Portanto, para qualquer ponto , a função é diferenciável porque é composta por funções suaves e a divisão está bem definida.

Passo 3

Agora, o ponto crítico é lim(x, y) to (0,0) x^d7 +1 y^d8x^2d7 +2 + y^2d8 . Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Primeiramente, para que uma função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Vamos verificar a continuidade em :
Se esse limite for igual a , a função é contínua em .
Para simplificar, podemos analisar o comportamento do numerador e do denominador à medida que e se aproximam de zero. O numerador tende a zero mais rápido ou mais lento que o denominador dependendo dos expoentes e . Sem valores específicos para e , assumimos que o limite tende a zero, garantindo a continuidade.
Em seguida, precisamos calcular as derivadas parciais de em e verificar se elas existem e são contínuas. No entanto, dado que a função é definida de forma diferente em e pode haver diferentes comportamentos dependendo dos caminhos que se aproximam de , é complexo afirmar sem mais detalhes sobre e .
Por isso, de forma geral, a função pode não ser diferenciável em , a menos que os expoentes e satisfaçam condições específicas que garantam a suavidade da função nesse ponto.

Resposta

A função R^2 setminus (0,0) é diferenciável em todos os pontos . A diferenciabilidade no ponto depende dos valores dos expoentes e , e sem condições adicionais, não podemos afirmar que é diferenciável nesse ponto. Portanto, o conjunto dos pontos onde é diferenciável é:

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