Considere a função g(x) = x^5 + 5 x^3 - raiz(2). Analise as afirmações abaixo sobre o comportamento de g(x) e sua derivada g'(x) :
(I) g(x) possui dois valores mínimos distintos;
(II) g'(x) é sempre maior ou igual a zero, portanto, g(x) não é decrescente;
(III) g'(x) assume tanto valores positivos quanto negativos, indicando que g(x) possui intervalos de crescimento e decrescimento.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) é verdadeira.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são falsas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente tem a função e precisa analisar três afirmações sobre o comportamento dessa função e sua derivada . O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas e o estudo do comportamento de funções (crescimento e decrescimento). Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos ajuda a entender se a função está crescendo ou decrescendo em certos intervalos.
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a derivada:

Passo 4

Vamos analisar .
Sabemos que:
  • é sempre maior ou igual a zero, porque qualquer número ao quadrado dá um resultado não negativo.
  • é sempre maior que zero, já que é pelo menos zero e estamos somando 3.
Portanto, é sempre positivo, porque estamos multiplicando números que são sempre positivos.

Passo 5

Agora, vamos verificar as afirmações:
(I) possui dois valores mínimos distintos:
Para uma função ter valores mínimos, a derivada precisa mudar de negativa para positiva. Mas como é sempre positiva, a função está sempre crescendo e não tem pontos de mínimo. Então, essa afirmação é falsa.
(II) é sempre maior ou igual a zero, portanto, não é decrescente:
Como vimos, é sempre positivo. Isso significa que está sempre crescendo e nunca decresce. Essa afirmação é verdadeira.
(III) assume tanto valores positivos quanto negativos, indicando que possui intervalos de crescimento e decrescimento:
Já que é sempre positivo, ele nunca assume valores negativos. Logo, essa afirmação é falsa.

Resposta

A opção correta é a (a) Apenas (II) é verdadeira.

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