Considere a função
. Analise as afirmações abaixo sobre o comportamento de
e sua derivada
:
(I)
possui dois valores mínimos distintos;
(II)
é sempre maior ou igual a zero, portanto,
não é decrescente;
(III)
assume tanto valores positivos quanto negativos, indicando que
possui intervalos de crescimento e decrescimento.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) é verdadeira.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são falsas.
(I)
(II)
(III)
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) é verdadeira.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são falsas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente tem a função
e precisa analisar três afirmações sobre o comportamento dessa função e sua derivada
. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas e o estudo do comportamento de funções (crescimento e decrescimento). Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender se a função está crescendo ou decrescendo em certos intervalos.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a derivada:
Passo 4
Vamos analisar
.
Sabemos que:
-
é sempre maior ou igual a zero, porque qualquer número ao quadrado dá um resultado não negativo. -
é sempre maior que zero, já que é pelo menos zero e estamos somando 3.
Portanto,
é sempre positivo, porque estamos multiplicando números que são sempre positivos.
Passo 5
Agora, vamos verificar as afirmações:
(I)
possui dois valores mínimos distintos:
Para uma função ter valores mínimos, a derivada precisa mudar de negativa para positiva. Mas como é sempre positiva, a função está sempre crescendo e não tem pontos de mínimo. Então, essa afirmação é falsa.
Para uma função ter valores mínimos, a derivada precisa mudar de negativa para positiva. Mas como
(II)
é sempre maior ou igual a zero, portanto,
não é decrescente:
Como vimos, é sempre positivo. Isso significa que
está sempre crescendo e nunca decresce. Essa afirmação é verdadeira.
Como vimos,
(III)
assume tanto valores positivos quanto negativos, indicando que
possui intervalos de crescimento e decrescimento:
Já que é sempre positivo, ele nunca assume valores negativos. Logo, essa afirmação é falsa.
Já que
Resposta
A opção correta é a (a) Apenas (II) é verdadeira.
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Determine a equação da reta tangente à curva
que é paralela à reta
1.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
§
§
Dada a função
, determine:
a) o domínio em
a) o domínio em
Dada a função
, determine as derivadas parciais: