Dada a função f(x, y) = (x * y) / raiz(x^2 + y^2), determine:
a) o domínio em IR^2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a parte a) do exercício que pede para encontrar o domínio da função no plano . O conteúdo aqui envolve funções de várias variáveis e análise de domínio. Vamos precisar entender onde essa função está bem definida, ou seja, para quais valores de e ela não dá problemas como divisão por zero ou números imaginários.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . O domínio da função são os pares onde a função dá um resultado real e definido.

Passo 3

Vamos identificar possíveis problemas na função. O denominador é . Precisamos garantir que esse denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Então, vamos resolver a inequação . Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar, temos:

Passo 5

A soma é igual a zero somente quando e . Portanto, o único ponto que devemos excluir do domínio é o ponto .

Resposta

O domínio da função é todos os pares em exceto o ponto . Em notação matemática:
í

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Considere a função g(x) = x^5 + 5 x^3 - raiz(2). Analise as afirmações abaixo sobre o comportamento de g(x) e sua derivada g'(x) :
(I) g(x) possui dois valores mínimos distintos;
(II) g'(x) é sempre maior ou igual a zero, portanto, g(x) não é decrescente;
(III) g'(x) assume tanto valores positivos quanto negativos, indicando que g(x) possui intervalos de crescimento e decrescimento.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) é verdadeira.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são falsas.
Determine a equação da reta tangente à curva y = -2 * raiz(x) - 2 * x + 7 que é paralela à reta 3x + y = 1.
(a) y = -3 x + 6.
(b) y = 3 x - 12.
© y = -1/3 x.
(d) y = -x / 3 + 9.
Dada a função f(x, y)=cos (x) sen(y)x^2+y^2, determine as derivadas parciais: partial fpartial x partial fpartial y, partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y partial x
Sendo alpha uma constante e w=f(u, v), onde u=x cos alpha-y sen alpha e v=x sen alpha+y cos alpha, sabendo que f é diferenciável mostre que: (OBS: use a regra da cadeia).
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=partial^2 wpartial u^2+partial^2 wpartial v^2