Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a descobrir onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. O raio de convergência, representado por , é o valor tal que a série converge para todos os que satisfazem e diverge para . O intervalo de convergência são todos os valores de onde a série realmente converge, podendo incluir ou não os pontos e .
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Vamos calcular o limite conforme L = limn to infty | (n+2) x(n+1) | = limn to infty | x cdot n+2n+1 | = |x| cdot limn to infty n+2n+1 = |x| cdot 1 = |x| tende ao infinito:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se |x| < 1 e diverge se . Se , o teste é inconclusivo e precisamos verificar separadamente.
Então, para a convergência:
Isso nos dá o raio de convergência .
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=0^+infty (-1)^n+1 (n+1) (1)^nn! = sumn=0^+infty (-1)^n+1 n+1n! , ou seja, para sumn=0^+infty (-1)^n+1 (n+1) (-1)^nn! = sumn=0^+infty (-1)^2n+1 n+1n! = -sumn=0^+infty n+1n! . Mas precisamos verificar os pontos e para ver se a série também converge nesses valores.
Para :
Substituindo na série:
Perceba que essa é uma série alternada. Podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem de valor absoluto e tendem a zero, a série converge. Aqui, tende a zero quando tende ao infinito, então a série converge para .
Para :
Substituindo na série:
Essa série também converge porque é uma série conhecida que converge para (a base dos logaritmos naturais). Portanto, a série original também converge para .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .