Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
§ sumn=0^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=0^+infty (-1)^n+1 (n+1) x^nn!
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. O raio de convergência, representado por , é o valor tal que a série converge para todos os que satisfazem e diverge para . O intervalo de convergência são todos os valores de onde a série realmente converge, podendo incluir ou não os pontos e .

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = (-1)^(n+1)+1 (n+2) x^n+1(n+1)!(-1)^n+1 (n+1) x^nn! = (-1)^n+2 (n+2) x^n+1 / (n+1)!(-1)^n+1 (n+1) x^n / n! .
Vamos calcular | an+1an | = | (n+2) x(n+1) | :
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular o limite conforme L = limn to infty | (n+2) x(n+1) | = limn to infty | x cdot n+2n+1 | = |x| cdot limn to infty n+2n+1 = |x| cdot 1 = |x| tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se |x| < 1 e diverge se . Se , o teste é inconclusivo e precisamos verificar separadamente.
Então, para a convergência:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=0^+infty (-1)^n+1 (n+1) (1)^nn! = sumn=0^+infty (-1)^n+1 n+1n! , ou seja, para sumn=0^+infty (-1)^n+1 (n+1) (-1)^nn! = sumn=0^+infty (-1)^2n+1 n+1n! = -sumn=0^+infty n+1n! . Mas precisamos verificar os pontos e para ver se a série também converge nesses valores.

Para :

Substituindo na série:
Perceba que essa é uma série alternada. Podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem de valor absoluto e tendem a zero, a série converge. Aqui, tende a zero quando tende ao infinito, então a série converge para .

Para :

Substituindo na série:
Essa série também converge porque é uma série conhecida que converge para (a base dos logaritmos naturais). Portanto, a série original também converge para .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Seja f(x) = 2 x^2 g(x) + 3 x, onde g é uma função derivável. A derivada de f é:
(a) f'(x) = 4x g(x) + 2x^2 g'(x) + 3.
(b) f'(x) = 4 x g'(x) + 3.
© f'(x) = 2 x g'(x) + x.
(d) f'(x) = 4 x^2 + g'(x) + 3.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(d) sumn=1^+infty n^25^n(x-1)^n
Determine a equação da reta tangente à curva y = -2 * raiz(x) - 2 * x + 7 que é paralela à reta 3x + y = 1.
(a) y = -3 x + 6.
(b) y = 3 x - 12.
© y = -1/3 x.
(d) y = -x / 3 + 9.
Considere a função g(x) = x^5 + 5 x^3 - raiz(2). Analise as afirmações abaixo sobre o comportamento de g(x) e sua derivada g'(x) :
(I) g(x) possui dois valores mínimos distintos;
(II) g'(x) é sempre maior ou igual a zero, portanto, g(x) não é decrescente;
(III) g'(x) assume tanto valores positivos quanto negativos, indicando que g(x) possui intervalos de crescimento e decrescimento.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) é verdadeira.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são falsas.